Mikä on Markovin eriarvoisuus?

Markovin epätasa-arvo on hyödyllinen tulos todennäköisyydestä, joka antaa tietoa a: sta todennäköisyysjakauma. Huomattava näkökohta tässä on se, että epätasa-arvo koskee kaikkia positiivisten arvojen jakaumia riippumatta siitä, mitä muita ominaisuuksia sillä on. Markovin epätasa-arvo antaa ylärajan prosentuaaliselle jakautumiselle, joka ylittää tietyn arvon.

Markovin epätasa-arvo kertoo tämän positiiviselle satunnaismuuttujalle X ja mikä tahansa positiivinen oikea numero, todennäköisyys, että X on suurempi tai yhtä suuri kuin on pienempi tai yhtä suuri kuin odotettu arvo of X jaettuna .

Yllä oleva kuvaus voidaan sanoa tiiviimmin käyttämällä matemaattista merkintää. Symbolina kirjoitamme Markovin eriarvoisuuden seuraavasti:

P (X ≥ ) ≤ E( X) /

Epätasa-arvon havainnollistamiseksi oletetaan, että meillä on jakauma, jolla on ei-negatiiviset arvot (kuten a chi-neliöjakauma). Jos tämä satunnaismuuttuja X on odotettu arvo 3, tarkastelemme todennäköisyyksiä muutamille arvoille .

• varten = 10 Markovin eriarvoisuus sanoo sen P (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Joten on olemassa 30% todennäköisyys X on suurempi kuin 10.
• varten = 30 Markovin eriarvoisuus sanoo sen P (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Joten on olemassa 10% todennäköisyys X on suurempi kuin 30.
• varten = 3 Markovin eriarvoisuus sanoo sen P (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Tapahtumat, joiden todennäköisyys on 1 = 100%, ovat varmoja. Joten tämä sanoo, että jokin satunnaismuuttujan arvo on suurempi tai yhtä suuri kuin 3. Tämän ei pitäisi olla liian yllättävää. Jos kaikki arvot X olivat alle 3, niin myös odotettu arvo olisi alle 3.
• Arvona kasvaa, osamäärä E(X) / tulee pienempiä ja pienempiä. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys on hyvin pieni X on erittäin suuri. Jälleen odotetulla arvolla 3 emme odota, että jakautumista olisi paljon, arvoilla, jotka olivat erittäin suuret.

Jos tiedämme enemmän jakelusta, jonka kanssa työskentelemme, voimme yleensä parantaa Markovin epätasa-arvoa. Sen käytön arvo on, että se pitää yllä kaikkia jakeluita, joilla on ei-negatiiviset arvot.

Esimerkiksi, jos tiedämme ala-asteen oppilaiden keskimääräisen korkeuden. Markovin eriarvoisuus kertoo meille, että korkeintaan kuudesosa opiskelijoista voi olla korkeampi kuin kuusi kertaa keskimääräinen.

Markovin eriarvoisuuden pääasiallinen käyttö on todistaa Chebyshevin epätasa-arvo. Tämä tosiasia johtaa siihen, että nimeä ”Tšebyshevin epätasa-arvo” sovelletaan myös Markovin eriarvoisuuteen. Epätasa-arvojen nimeämisen sekavuus johtuu myös historiallisista olosuhteista. Andrey Markov oli Pafnuty Chebyshevin opiskelija. Tšebyshevin teos sisältää Markovin katsotun epätasa-arvon.