Mahdollisuus satunnaisesti valita perusluku

Lukuteoria on haara matematiikka se koskee itse kokonaislukumäärää. Rajoitamme itsemme jonkin verran tekemällä tämän, koska emme opiskele suoraan muita numeroita, kuten irrationaalisia. Kuitenkin muun tyyppisiä todelliset luvut käytetään. Tämän lisäksi todennäköisyyskohteella on monia yhteyksiä ja leikkauksia lukuteorian kanssa. Yksi näistä yhteyksistä liittyy jakeluun alkuluvut. Tarkemmin sanottuna voimme kysyä, mikä on todennäköisyys, että satunnaisesti valittu kokonaisluku välillä 1 - x on alkuluku?

Kuten minkä tahansa matematiikan ongelman kanssa, on tärkeää ymmärtää paitsi mitä oletuksia tehdään, myös kaikkien ongelman keskeisten termien määritelmät. Tässä ongelmassa tarkastellaan positiivisia kokonaislukuja, jotka tarkoittavat kokonaislukuja 1, 2, 3... joihinkin numeroihin saakka x. Valitsemme satunnaisesti yhden näistä numeroista, mikä tarkoittaa kaikkia x heistä valitaan yhtä todennäköisesti.

Yritämme määrittää todennäköisyyden, että alkuluku on valittu. Siksi meidän on ymmärrettävä alkuluvun määritelmä. Alkuluku on positiivinen kokonaisluku, jolla on täsmälleen kaksi tekijää. Tämä tarkoittaa, että alkuluvun ainoat jakajat ovat yksi ja luku itse. Joten 2,3 ja 5 ovat alkulähteitä, mutta 4, 8 ja 12 eivät ole alukkeita. Huomaa, että koska alkuluvulla täytyy olla kaksi tekijää, numero 1 on

Ratkaisu tähän ongelmaan on suoraviivainen pienille numeroille x. Ainoa mitä meidän on tehtävä, on yksinkertaisesti laskea niiden alkumäärien lukumäärä, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria x. Jaamme alkulukumäärän, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin x numeron mukaan x.

Esimerkiksi, jotta löydettäisiin todennäköisyys, että alkuluku valitaan välillä 1-10, meidän on jaettava primaarien lukumäärä välillä 1-10 10: llä. Luvut 2, 3, 5, 7 ovat alukkeita, joten todennäköisyys alkun valinnasta on 4/10 = 40%.

Todennäköisyys, että alkuluku valitaan välillä 1 - 50, voidaan löytää samalla tavalla. Alle 50-alukkeet ovat: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ja 47. 15 alkulukua on alle tai yhtä suuri kuin 50. Siten todennäköisyys, että alkuluku valitaan satunnaisesti, on 15/50 = 30%.

Tämä prosessi voidaan suorittaa yksinkertaisesti laskemalla primesit, kunhan meillä on luettelo primeistä. Esimerkiksi 25 alkulukua on alle tai yhtä suuri kuin 100. (Siten todennäköisyys, että satunnaisesti valittu luku välillä 1 - 100 on alkuluku, on 25/100 = 25%.) Jos meillä ei ole luetteloa alkioiden lukumäärästä, voi laskennallisesti olla pelottavaa määrittää alkulukujen joukko, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin tietty annettu määrä x.

Jos sinulla ei ole pienempää tai yhtä suurta määrää alkulukuja x, sitten on vaihtoehtoinen tapa ratkaista tämä ongelma. Ratkaisu sisältää matemaattisen tuloksen, joka tunnetaan alkuluvun lauseena. Tämä on lausunto primojen yleisestä jakautumisesta ja sitä voidaan käyttää arvioimaan todennäköisyys, jota yritämme määrittää.

Alkuluvun lause osoittaa, että niitä on suunnilleen x / ln (x) alkuluvut, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin x. Täällä ln (x) tarkoittaa luonnollista logaritmia x, tai toisin sanoen logaritmi, jonka kanta on numero e. Arvona x lisää lähentäminen paranee siinä mielessä, että suhteellisen virheen lasku alkulukujen välillä on pienempi kuin x ja lauseke x / ln (x).

Voimme käyttää alkulukulauseen tulosta ratkaistaksemme ongelman, jota yritämme ratkaista. Tiedämme alkulukulauseella, että niitä on suunnilleen x / ln (x) alkuluvut, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin x. Lisäksi niitä on yhteensä x positiiviset kokonaisluvut, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin x. Siksi todennäköisyys, että satunnaisesti valittu luku tällä alueella on alkuluku (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Voimme nyt käyttää tätä tulosta arvioidaksesi todennäköisyyttä valita satunnaisesti alkuluku ensimmäisestä miljardi kokonaislukuja. Laskemme miljardin luonnollisen logaritmin ja katsomme, että ln (1 000 000 000) on noin 20,7 ja 1 / ln (1 000 000 000) on noin 0,0483. Siten meillä on noin 4,83% todennäköisyys valita satunnaisesti alkuluku ensimmäisestä miljardista kokonaisluvusta.