Mikä on kurtosis tilastoissa?

Tietojen jakaumat ja todennäköisyysjakaumat eivät ole kaikki samanlaisia. Jotkut ovat epäsymmetrisiä ja vinossa vasemmalle tai oikealle. Muut jakaumat ovat kaksoiskuljetus ja niillä on kaksi huippua. Toinen ominaisuus, joka on otettava huomioon jakaumasta puhuttaessa, on jakauman hännän muoto vasemmalla ja vasemmalla. Kurtosis on levinneisyyden hännän paksuuden tai raskauden mitta. Jakauman kurtoosi on luokiteltu kolmeen luokkaan:

• Mesokurtic
• leptokurtisen
• Platykurtic

Tarkastellaan kutakin näistä luokituksista vuorotellen. Näiden luokkien tutkiminen ei ole niin tarkka kuin voisimme, jos käyttäisimme kurtoosin teknistä matemaattista määritelmää.

Kurtosis mitataan tyypillisesti normaalijakauma. Jakauma, jonka hännät on muotoiltu suunnilleen samalla tavalla kuin normaalijakauma, ei vain normaali normaalijakauma, sanotaan olevan mesokurtinen. Mesokurtisen jakauman kurtoosi ei ole korkea eikä matala, vaan sen katsotaan olevan perustana kahdelle muulle luokitukselle.

sitä paitsi normaalijakaumat, binomijakaumat, joille p on lähellä puolta, pidetään mesokurtisina.

Leptokurtinen jakauma on sellainen, jonka kurtoosi on suurempi kuin mesokurtinen jakauma. Leptokurtic-jakaumat tunnistetaan joskus ohuiden ja korkeiden piikkien avulla. Näiden jakaumien hännät, sekä oikealle että vasemmalle, ovat paksuja ja raskaita. Leptokurtic-jakaumat nimetään etuliitteellä "lepto", joka tarkoittaa "laihaa".

Leptokurtisia jakaumia on monia esimerkkejä. Yksi tunnetuimmista leptokurtisista jakaumista on Opiskelijan t jakauma.

Kolmas kurtoosiluokitus on platykurtinen. Platykurtic-jakaumat ovat niitä, joilla on kapeat pyrstöt. Monta kertaa niillä on huippu, joka on alempi kuin mesokurtinen jakauma. Tämän tyyppisten jakelujen nimi tulee etuliitteen "platy" merkityksestä, joka tarkoittaa "laaja".

Kaikki yhtenäinen jakaumat ovat platykurtisia. Tämän lisäksi erillinen todennäköisyysjakauma kolikon yhdestä käänteestä on platykurtinen.

Nämä kurtoosiluokitukset ovat edelleen jonkin verran subjektiivisia ja laadullisia. Vaikka saatamme nähdä, että jakaumalla on paksummat hännät kuin tavallisella jakelulla, entä jos meillä ei ole kuvaajaa normaalijakaumasta, jota voidaan verrata? Entä jos haluamme sanoa, että yksi jakauma on leptokurtista enemmän kuin toinen?

Tällaisiin kysymyksiin vastaamiseksi ei tarvita pelkästään kurtoosin laadullista kuvausta, vaan kvantitatiivista mittaa. Käytetty kaava on μ₄/σ⁴ missä μ₄ on Pearsonin neljäs hetki keskiarvosta ja sigma on keskihajonta.

Nyt kun meillä on tapa laskea kurtoosi, voimme verrata saatuja arvoja pikemminkin kuin muotoja. Normaalijakaumassa havaitaan olevan kurtosis kolme. Tästä tulee nyt perustana mesokurtisille jakaumille. Jakauma, jonka kurtoosi on suurempi kuin kolme, on leptokurtinen ja jakauma, kun kurtoosi on alle kolme, on platykurtinen.

Koska käsittelemme mesokurtic-jakaumaa perustana muille jakaumillemme, voimme vähentää kolme kurtosisoitusta koskevasta standardilaskelmastamme. Kaava μ₄/σ⁴ - 3 on kaava ylimääräiselle kurtoosille. Voimme sitten luokitella jakauman sen ylimääräisestä kurtoosista:

• Mesokurtisissa jakaumissa ylimääräinen kurtoosi on nolla.
• Platykurtisilla jakaumilla on negatiivinen ylimääräinen kurtoosi.
• Leptokurtisilla jakaumilla on positiivinen ylimääräinen kurtoosi.

Sana "kurtosis" vaikuttaa outolta ensimmäisessä tai toisessa käsittelyssä. Se on todella järkevää, mutta meidän on tunnettava kreikka sen tunnistaakseen. Kurtosis on peräisin kreikkalaisen sanan kurtos translitteroinnista. Tällä kreikkalaisella sanalla on merkitys "kaareva" tai "pullistunut", mikä tekee siitä sopivan kuvauksen kurtoosiksi kutsutusta käsitteestä.