Kuinka laskea backgammon-todennäköisyydet

Backgammon on peli, jossa käytetään kahta vakio noppaa. Tässä pelissä käytettävät noppaa ovat kuusipuolisia kuutioita, ja suulakkeen pinnoissa on yksi, kaksi, kolme, neljä, viisi tai kuusi pippuria. Backgammon-käännöksen aikana pelaaja voi siirtää nappulaaan tai vedonsa noppaa osoitettujen numeroiden mukaan. Valssatut numerot voidaan jakaa kahden ruudun kesken, tai ne voidaan koota ja käyttää yhdeksi nappulana. Esimerkiksi, kun 4 ja 5 heitetään, pelaajalla on kaksi vaihtoehtoa: hän voi siirtää yhtä nappulaa neljä välilyöntiä ja toista viittä välilyöntiä tai yhtä nappulaa voidaan siirtää yhteensä yhdeksän välilyöntiä.

Strategioiden muotoilemiseksi backgammonissa on hyödyllistä tietää joitain perustodennäköisyyksiä. Koska pelaaja voi käyttää yhtä tai kahta noppaa tietyn tarkistimen siirtämiseen, todennäköisyyslaskelmat pitävät tämän mielessä. Backgammon-todennäköisyyksillemme vastaamme kysymykseen: “Kun pyöritämme kaksi noppaa, mikä on todennäköisyys laskea numero n joko kahden noppaa summana tai ainakin yhdellä kahdesta noppaa? "

Yhdessä kuormittamattomassa muotissa molemmat puolet laskeutuvat yhtä todennäköisesti puoli ylöspäin. Yksittäinen suulake muodostaa a yhtenäinenesimerkkitila. Tuloksia on yhteensä kuusi, jotka vastaavat kutakin kokonaislukua 1-6. Siten jokaisen luvun esiintymisen todennäköisyys on 1/6.

Kun kierrämme kahta noppaa, kukin kuolema on toisistaan ​​riippumaton. Jos seuraamme sitä järjestystä, kuinka monta noppaa esiintyy, niin tuloksia on yhteensä 6 x 6 = 36. Siten 36 on nimittäjä kaikille todennäköisyyksillemme ja kahden noppaa minkä tahansa tietyn tuloksen todennäköisyys on 1/36.

Todennäköisyys laskea kaksi noppaa ja saada ainakin yksi luvusta 1-6 on suoraviivainen laskea. Jos haluamme määrittää todennäköisyyden kääntyä ainakin yksi 2 kahdella nopalla, meidän on tiedettävä, kuinka moni 36 mahdollisesta tuloksesta sisältää ainakin yhden 2. Tavat tehdä tämä ovat:

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

Siten on olemassa 11 tapaa rullata ainakin yksi 2 kahdella nopalla, ja todennäköisyys rullata vähintään yksi 2 kahdella nopana on 11/36.

Edellisessä keskustelussa 2: ssa ei ole mitään erityistä. Mistä tahansa määrästä n 1-6:

• On viisi tapaa rullata tarkalleen yksi siitä numerosta ensimmäisellä suulakkeella.
• On viisi tapaa kääntää tarkalleen yksi siitä numerosta toisella suulakkeella.
• On yksi tapa kääntää tämä numero molemmille nopille.

Siksi on 11 tapaa rullata ainakin yksi n 1-6 käyttämällä kahta noppaa. Tämän todennäköisyys on 11/36.

Mikä tahansa luku kahdesta 12 voidaan saada kahden noppaa summana. todennäköisyydet kahdelle nopille on hieman vaikeampi laskea. Koska näiden summien saavuttamiseen on erilaisia ​​tapoja, ne eivät muodosta yhtenäistä näytetilaa. Esimerkiksi, on neljä tapaa laskea neljän summan summa: (1, 3), (2, 2), (3, 1), mutta vain kaksi tapaa laskea summa 11: (5, 6), ( 6, 5).

Tietyn luvun summan laskemisen todennäköisyys on seuraava:

• Kahden summan laskemisen todennäköisyys on 1/36.
• Kolmen summan laskemisen todennäköisyys on 2/36.
• Neljän summan laskemisen todennäköisyys on 3/36.
• Viiden summan laskemisen todennäköisyys on 4/36.
• Kuuden summan laskemisen todennäköisyys on 5/36.
• Seitsemän summan laskemisen todennäköisyys on 6/36.
• Kahdeksan summan laskemisen todennäköisyys on 5/36.
• Yhdeksän summan laskemisen todennäköisyys on 4/36.
• Kymmenen summan laskemisen todennäköisyys on 3/36.
• Yhdentoista summan laskemisen todennäköisyys on 2/36.
• Kahdentoista summan laskemisen todennäköisyys on 1/36.

Vihdoinkin meillä on kaikki mitä tarvitsemme backgammonin todennäköisyyksien laskemiseksi. Ainakin yksi numeroista on liikkuva toisiaan poissulkevat kääntämällä tämä numero kahden noppaa summana. Voimme siis käyttää lisäyssääntö lisätä todennäköisyydet yhteen minkä tahansa luvun saamiseksi välillä 2 - 6.

Esimerkiksi todennäköisyys heittää ainakin yksi kahdesta nopasta on 11/36. 6: n vieritys kahden noppaa summana on 5/36. Ainakin yhden 6: n tai kuuden vierimisen todennäköisyys kahden noppaa summana on 11/36 + 5/36 = 16/36. Muut todennäköisyydet voidaan laskea samalla tavalla.