Useista todennäköisyyden lauseista voidaan päätellä todennäköisyyden aksioomat. Näitä lauseita voidaan käyttää laskettaessa todennäköisyyksiä, jotka saatamme haluta tietää. Yksi sellainen tulos tunnetaan komplementtisääntönä. Tämän lausunnon avulla voimme laskea todennäköisyyden tapahtuma tietämällä komplementin todennäköisyys C. Kun komplementaarisääntö on annettu, näemme kuinka tämä tulos voidaan todistaa.
Täydentävä sääntö
Tapahtuman täydennys on merkitty C. Täydennys on aseta kaikista universaalisarjan elementeistä, tai esimerkkitila S, jotka eivät ole joukon elementtejä .
Komplementaarisääntö ilmaistaan seuraavalla yhtälöllä:
P (C) = 1 - P ()
Tässä näemme, että tapahtuman todennäköisyyden ja sen komplementin todennäköisyyden on oltava 1.
Todistus täydentävästä säännöstä
Komplemenssisäännön todistamiseksi aloitamme todennäköisyyden aksioomilla. Nämä lausunnot oletetaan ilman todisteita. Näemme, että niitä voidaan systemaattisesti käyttää todistamaan toteamuksemme tapahtuman täydentämisen todennäköisyydestä.
- Ensimmäinen todennäköisyyden aksiooma on, että minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on negatiivinen oikea numero.
- Toinen todennäköisyyden aksiooma on koko näytetilan todennäköisyys S on yksi. Symbolisesti kirjoitamme P (S) = 1.
- Kolmas todennäköisyyden aksiooma väittää, että If ja B ovat toisiaan poissulkevia (tarkoittaen, että niillä on tyhjä risteys), ilmoitamme sitten todennäköisyyden näiden tapahtumien liitto kuten P ( U B ) = P () + P (B).
Komplementtisääntöä varten meidän ei tarvitse käyttää ensimmäistä aksioomia yllä olevassa luettelossa.
Lausunnomme todistamiseksi harkitsemme tapahtumia ja C. Joukkojen teoriasta tiedämme, että näillä kahdella joukolla on tyhjä leikkauspiste. Tämä johtuu siitä, että elementti ei voi olla samanaikaisesti molemmissa eikä sisällä . Koska risteys on tyhjä, nämä kaksi ryhmää ovat toisiaan poissulkevat.
Kahden tapahtuman liitto ja C ovat myös tärkeitä. Nämä ovat tyhjentäviä tapahtumia, mikä tarkoittaa, että liitto näistä tapahtumista on kaikki näytetila S.
Nämä tosiasiat yhdessä aksioomien kanssa antavat meille yhtälön
1 = P (S) = P ( U C) = P () + P (C) .
Ensimmäinen tasa-arvo johtuu toisesta todennäköisyysaksiaalista. Toinen tasa-arvo johtuu tapahtumista ja C ovat tyhjentäviä. Kolmas tasa-arvo johtuu kolmannesta todennäköisyysaksiaalista.
Yllä oleva yhtälö voidaan järjestää muotoon, jonka edellä kerroimme. Ainoa mitä meidän on tehtävä on vähentää todennäköisyys yhtälön molemmilta puolilta. Täten
1 = P () + P (C)
tulee yhtälöksi
P (C) = 1 - P ().
Tietenkin, voisimme myös ilmaista säännön todeten, että:
P () = 1 - P (C).
Kaikki nämä kolme yhtälöä ovat vastaavia tapoja sanoa sama asia. Näemme tästä todisteesta, kuinka vain kaksi aksioomaa ja jokin joukkoteoria auttavat meitä todistamaan uusia todennäköisyyttä koskevia väitteitä.