Mitkä ovat todennäköisyyden aksiomat?

Yksi matematiikan strategia on aloittaa muutamalla lauseella, sitten rakentaa näistä lauseista enemmän matematiikkaa. Alkuväitteet tunnetaan aksioomina. Aksioomi on tyypillisesti jotain, mikä on matemaattisesti itsestään selvä. Suhteellisen lyhyestä aksioomiluettelosta deduktiivista logiikkaa käytetään todistamaan muut lausunnot, joita kutsutaan lauseiksi tai ehdotuksiksi.

Matematiikan alue, joka tunnetaan todennäköisyytenä, ei eroa toisistaan. Todennäköisyys voidaan vähentää kolmeen aksioomiin. Tämän teki ensin matemaatikko Andrei Kolmogorov. Muutamia aksioomeja, jotka ovat taustalla todennäköisyyttä, voidaan käyttää päättämään kaikki lajittelee tuloksista. Mutta mitkä ovat nämä todennäköisyysakselit?

Todennäköisyyden aksioomien ymmärtämiseksi meidän on ensin keskusteltava joistain perusmääritelmistä. Oletetaan, että meillä on joukko tuloksia, joita kutsutaan näytetilaksi S. Tätä näytetilaa voidaan ajatella tutkittavan tilanteen universaalisena kokonaisuutena. Näytetila koostuu osajoukoista, joita kutsutaan tapahtumiksi E₁, E₂,..., E_n.

Oletetaan myös, että on olemassa tapa määrittää todennäköisyys mihin tahansa tapahtumaan E. Tätä voidaan ajatella funktiona, jolla on joukko tuloa, ja a oikea numero tuotoksena. Todennäköisyys tapahtumaE on merkitty P(E).

Ensimmäinen todennäköisyyden aksiooma on, että minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on ei-negatiivinen reaaliluku. Tämä tarkoittaa, että pienin todennäköisyys, joka koskaan voi olla, on nolla ja että se ei voi olla ääretön. Numerojoukko, jota voimme käyttää, ovat todellisia numeroita. Tämä viittaa sekä rationaalisiin lukuihin, joita kutsutaan myös murtoiksi, että irrationaalisiin lukuihin, joita ei voida kirjoittaa murtoina.

Yksi huomionarvoista on, että tämä aksiooma ei sano mitään siitä, kuinka suuri tapahtuman todennäköisyys voi olla. Aksioomi eliminoi negatiivisten todennäköisyyksien mahdollisuuden. Se kuvastaa käsitystä, että pienin todennäköisyys, joka on varattu mahdottomille tapahtumille, on nolla.

Toinen todennäköisyyden aksiooma on, että koko näytetilan todennäköisyys on yksi. Symbolisesti kirjoitamme P(S) = 1. Tässä aksioomissa implisiittisesti on käsitys, että näytetila on kaikki mahdollinen todennäköisyyskokeellemme ja että näytetilan ulkopuolella ei ole tapahtumia.

Tämä aksioomi ei sinänsä aseta ylärajaa tapahtumien todennäköisyyksille, jotka eivät ole koko näytetila. Se heijastaa tosiasiaa, että jollakin ehdottomasti varmuudella on 100% todennäköisyys.

Kolmas todennäköisyyden aksioomi koskee toisiaan poissulkevia tapahtumia. Jos E₁ ja E₂ olemme toisiaan poissulkevat, mikä tarkoittaa, että heillä on tyhjä risteys ja me tarkoitamme sitten U: lla liittoa P(E₁ U E₂ ) = P(E₁) + P(E₂).

Aksioomi kattaa tosiasiallisesti tilanteen useilla (jopa laskettavasti äärettömillä) tapahtumilla, joista jokainen pari on toisiaan poissulkeva. Niin kauan kuin tätä tapahtuu, liitoksen todennäköisyys tapahtumista on sama kuin todennäköisyysten summa:

P(E₁ U E₂ U... U E_n ) = P(E₁) + P(E₂) +... + E_n

Vaikka tämä kolmas aksioomi ei ehkä näytä niin hyödylliseltä, näemme, että se yhdistetään kahden muun aksiooman kanssa todellakin varsin voimakkaasti.

Kolme aksioomaa asettaa ylärajan minkä tahansa tapahtuman todennäköisyydelle. Merkitsemme tapahtuman täydennystä E mennessä E^C. Asetetusta teoriasta E ja E^C on tyhjä risteys ja ovat toisiaan poissulkevia. Lisäksi E U E^C = S, koko näytetila.

Nämä tosiasiat yhdessä aksioomien kanssa antavat meille:

1 = P(S) = P(E U E^C) = P(E) + P(E^C) .

Järjestäämme yllä olevan yhtälön ja näemme sen P(E) = 1 - P(E^C). Koska tiedämme, että todennäköisyyksien on oltava negatiivisia, meillä on nyt minkä tahansa tapahtuman todennäköisyyden yläraja 1.

Järjestämällä kaava uudelleen, meillä on P(E^C) = 1 - P(E). Voimme myös päätellä tästä kaavasta, että tapahtuman epätodennäköisyys on yksi miinus todennäköisyys, että se tapahtuu.

Yllä oleva yhtälö tarjoaa meille myös tavan laskea mahdottoman tapahtuman todennäköisyys, jota merkitään tyhjällä joukolla. Muista tämä, muista, että tyhjä sarja on tässä tapauksessa yleismaailmallisen sarja S^C. Koska 1 = P(S) + P(S^C) = 1 + P(S^C), jonka algebra meillä on P(S^C) = 0.

Yllä olevat ovat vain muutamia esimerkkejä ominaisuuksista, jotka voidaan todistaa suoraan aksioomien avulla. Todennäköisyydessä on paljon enemmän tuloksia. Mutta kaikki nämä lauseet ovat loogisia jatkeita todennäköisyyden kolmesta aksioomista.