Mikä on kahden sarjan leikkaus?

Kun tekemisissä asetettu teoria, uusien sarjojen tekemiseksi vanhoista on useita toimintoja. Yksi yleisimmistä joukko-operaatioista on risteys. Yksinkertaisesti sanottuna, kahden sarjan leikkauspiste ja B on joukko kaikkia elementtejä, jotka molemmat ovat ja B on yhteistä.

Tarkastelemme yksityiskohtia leikkauspisteestä set-teoriassa. Kuten näemme, avainsana tässä on sana "ja".

Esimerkki siitä, kuinka kahden joukon leikkaus muodostaa a uusi sarja, harkitaan sarjoja = {1, 2, 3, 4, 5} ja B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Näiden kahden ryhmän leikkauskohdan löytämiseksi meidän on selvitettävä, mitä elementtejä niillä on yhteistä. Numerot 3, 4, 5 ovat molempien joukkojen elementtejä, siksi ja B on {3. 4. 5].

Asetettujen teoriaoperaatioiden käsitteiden ymmärtämisen lisäksi on tärkeää osata lukea myös näitä operaatioita kuvaavat symbolit. Risteyskuvake korvataan joskus sanalla “ja” kahden sarjan välillä. Tämä sana ehdottaa kompaktimpaa merkintää tyypillisesti käytetylle risteykselle.

Symboli, jota käytetään kahden ryhmän leikkauspisteessä ja B on antanut ∩ B. Yksi tapa muistaa, että tämä symboli ∩ viittaa leikkauspisteeseen, on huomata sen muistuttavan kirjainta A, joka on lyhyt sanalle "ja".

Katso yllä oleva esimerkki nähdäksesi tämän merkinnän käytännössä. Täällä meillä oli sarjat = {1, 2, 3, 4, 5} ja B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Joten kirjoittaisimme asetetun yhtälön ∩ B = {3, 4, 5}.

Yksi risteykseen liittyvä perusidentiteetti osoittaa meille, mitä tapahtuu, kun otamme minkä tahansa joukon leikkauksen tyhjän sarjan kanssa, jota merkitään numerolla # 8709. Tyhjä sarja on sarja, jossa ei ole elementtejä. Jos ainakin yhdessä joukossa, josta yritämme löytää leikkausta, ei ole elementtejä, niin kahdella joukolla ei ole yhteisiä elementtejä. Toisin sanoen minkä tahansa joukon ja tyhjä sarja antaa meille tyhjän sarjan.

Tämä identiteetti tulee entistä kompaktivammaksi merkintäämme käytettäessä. Meillä on identiteetti: ∩ ∅ = ∅.

Toisessa ääripäässä, mitä tapahtuu, kun tarkastelemme joukon leikkausta universaalijoukon kanssa? Samanlainen kuin sana maailmankaikkeus käytetään tähtitieteessä tarkoittamaan kaikkea, universaali sisältää kaikki elementit. Tästä seuraa, että jokainen sarjamme elementti on myös osa universaalia sarjaa. Siten minkä tahansa joukon ja universaalijoukon leikkaus on ryhmä, josta aloitimme.

Jälleen huomautuksemme tulee pelastamaan ilmaisemaan tätä identiteettiä ytimekkäämmin. Missä tahansa sarjassa ja yleinen sarja U, ∩ U = .

On paljon enemmän asetettuja yhtälöitä, joihin liittyy risteysoperaation käyttö. Tietysti on aina hyvä harjoitella käyttämällä asetetun teorian kieltä. Kaikille sarjoille ja B ja D meillä on:

• Heijastava ominaisuus: ∩ =
• Kommutatiivinen omaisuus: ∩ B = B ∩
• Yhdistävä omaisuus: ( ∩ B) ∩ D = ∩ (B ∩ D)
• Jakeluomaisuus: ( ∪ B) ∩ D = ( ∩ D)∪ (B ∩ D)
• DeMorganin laki I: ( ∩ B)^C = ^C ∪ B^C
• DeMorganin laki II: ( ∪ B)^C = ^C ∩ B^C