Matemaattisten tilastojen hetket sisältävät peruslaskelman. Näitä laskelmia voidaan käyttää todennäköisyysjakauman keskiarvon, varianssin ja vinouden löytämiseen.
Oletetaan, että meillä on joukko tietoja, joiden kokonaismäärä on nerillinen pistettä. Yksi tärkeä laskelma, joka on itse asiassa useita numeroita, kutsutaan skolmas hetki. stietojoukon kolmas momentti arvoilla x1, x2, x3,..., xn annetaan kaavalla:
(x1s + x2s + x3s +... + xns)/n
Tämän kaavan käyttäminen edellyttää, että olemme varovaisia toimintajärjestyksessämme. Meidän on ensin tehtävä eksponentit, lisättävä ja sitten jaettava tämä summa kertoimella n data-arvojen kokonaismäärä.
Huomautus termistä 'Hetki'
Termi hetki on otettu fysiikasta. Fysiikassa pistemassijärjestelmän momentti lasketaan edellä esitetyn kaltaisella kaavalla, ja tätä kaavaa käytetään pisteiden massakeskipisteen löytämiseen. Tilastoinnissa arvot eivät ole enää massoja, mutta kuten näemme, tilastojen hetket mittaavat silti jotain suhteessa arvojen keskipisteeseen.
Ensimmäinen hetki
Ensimmäisen hetken, asetimme s = 1. Ensimmäisen hetken kaava on siis:
(x1x2 + x3 +... + xn)/n
Tämä on identtinen näytteen kaavan kanssa tarkoittaa.
Arvojen 1, 3, 6, 10 ensimmäinen momentti on (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Toinen hetki
Toiseksi hetkeksi asetimme s = 2. Toisen hetken kaava on:
(x12 + x22 + x32 +... + xn2)/n
Arvojen 1, 3, 6, 10 toinen momentti on (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Kolmas hetki
Kolmantena hetkenä asetimme s = 3. Kolmannen hetken kaava on:
(x13 + x23 + x33 +... + xn3)/n
Arvojen 1, 3, 6, 10 kolmas momentti on (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Suuremmat momentit voidaan laskea samalla tavalla. Vaihda vain s yllä olevassa kaavassa numerolla, joka osoittaa halutun ajan.
Hetkiä keskiarvosta
Aiheeseen liittyvä idea on skolmas hetki keskiarvosta. Tässä laskelmassa suoritamme seuraavat vaiheet:
- Laske ensin arvojen keskiarvo.
- Seuraavaksi vähennä tämä keskiarvo jokaisesta arvosta.
- Nosta sitten nämä erot arvoon sth voima.
- Lisää nyt vaiheet 3 luvut yhteen.
- Lopuksi jaa tämä summa arvojen lukumäärällä, josta aloitimme.
Kaava skolmas hetki keskiarvosta m arvojen arvoista x1, x2, x3,..., xn on antanut:
ms = ((x1 - m)s + (x2 - m)s + (x3 - m)s +... + (xn - m)s)/n
Ensimmäinen hetki keskiarvosta
Ensimmäinen hetki keskiarvosta on aina yhtä suuri kuin nolla, riippumatta siitä, minkä tietojoukon kanssa työskentelemme. Tämä näkyy seuraavassa:
m1 = ((x1 - m) + (x2 - m) + (x3 - m) +... + (xn - m))/n = ((x1+ x2 + x3 +... + xn) - nm)/n = m - m = 0.
Toinen hetki keskiarvosta
Toinen hetki keskiarvosta saadaan yllä olevasta kaavasta asettamallas = 2:
m2 = ((x1 - m)2 + (x2 - m)2 + (x3 - m)2 +... + (xn - m)2)/n
Tämä kaava vastaa näytteen varianssin kaavaa.
Harkitse esimerkiksi sarjaa 1, 3, 6, 10. Olemme jo laskeneet tämän joukon keskiarvon olevan 5. Vähennä tämä jokaisesta data-arvosta saadaksesi erot:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Me neliöitämme kaikki nämä arvot ja lisäämme ne yhteen: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Lopuksi jaa tämä luku datapisteiden lukumäärällä: 46/4 = 11,5
Momenttien sovellukset
Kuten edellä mainittiin, ensimmäinen hetki on keskiarvo ja toinen hetki keskiarvon kohdalla on näyte vaihtelu. Karl Pearson esitteli kolmannen momentin käytön keskiarvon laskemisessa skewness ja neljäs hetki keskiarvon laskemisessa huipukkuus.