Mikä on Calculus? Määritelmä ja käytännön sovellukset

Laskelma on matematiikan haara, johon sisältyy muutosnopeuksien tutkiminen. Ennen laskennan keksimistä, kaikki matematiikat olivat staattisia: Se voi auttaa vain laskea esineitä, jotka olivat täysin liikkumattomia. Mutta maailmankaikkeus liikkuu ja muuttuu jatkuvasti. Mitkään esineet - avaruuden tähtiä kohti kehon alaatomien hiukkasiin tai soluihin - eivät ole aina levossa. Itse asiassa melkein kaikki maailmankaikkeuden liikkuu jatkuvasti. Calculus auttoi määrittämään kuinka hiukkaset, tähdet ja aine todella liikkuvat ja muuttuvat reaaliajassa.

Calculusta käytetään monilla aloilla, joiden et yleensä uskoisi käyttävän sen käsitteitä. Heitä ovat fysiikka, tekniikka, taloustiede, tilastotiede ja lääketiede. Kalsiumia käytetään myös sellaisilla erilaisilla alueilla kuin avaruusmatka, samoin kuin lääkkeiden vuorovaikutuksen kanssa kehon kanssa ja jopa kuinka rakentaa turvallisempia rakenteita. Ymmärrät, miksi lasku on hyödyllinen niin monilla alueilla, jos tiedät vähän sen historiasta sekä siitä, mitä se on suunniteltu tekemään ja mittaamaan.

Avainvaihtoehdot: Laskennan peruslause

Kaksi matemaatikkoa, Gottfried Leibniz ja Isaac Newton. Newton kehitti ensin laskutoimituksen ja sovelsi sitä suoraan fyysisten järjestelmien ymmärtämiseen. Leibniz kehitti itsenäisesti laskennassa käytetyt merkinnät. Yksinkertaisesti sanottuna, kun perusmatematiikka käyttää toimintoja, kuten plus, miinus, ajat ja jako (+, -, x ja ÷), laskenta käyttää operaatioita, jotka käyttävät funktiot ja integraalit laskea muutosnopeudet.

Nämä työkalut antoivat Newtonille, Leibnizille ja muille matemaatikoille, jotka seurasivat, laskea asioita, kuten käyrän tarkan kaltevuuden missä tahansa vaiheessa. Matematiikan tarina selittää Newtonin laskentaperusteen merkityksen:

"Poiketen kreikkalaisten staattisesta geometriasta, calculus antoi matemaatikoille ja insinööreille mahdollisuuden ymmärtää liike ja dynaaminen muutos muuttuvassa maailmassa ympärillämme, kuten planeettojen kiertoradat, nesteiden liike, jne."

Laskentaa käyttämällä tutkijat, tähtitieteilijät, fyysikot, matemaatikot ja kemistit voisivat nyt kartoittaa planeettojen ja tähtijen kiertoradan sekä elektronien ja protonien polun atomitasolla.

Laskuja on kaksi haaraa: differentiaalinen ja kiinteä laskenta. "Differentiaalilaskenta tutkii johdannaisia ​​ja integraaleja laskututkimuksia... integraalin", toteaa Massachusetts Institute of Technology. Mutta siinä on enemmän kuin se. Differentiaalilaskenta määrittää määrän muutosnopeuden. Se tutkii rinteiden ja käyrien muutosnopeuksia.

Tämä haara koskee funktion muutosnopeuden tutkimista suhteessa niiden muuttujiin, erityisesti johdannaisten ja differentiaalien avulla. Johdannainen on viivan kaltevuus kuvaajassa. Löydät viivan kaltevuuden laskemalla nousee juoksun yli.

Integroitu laskentasen sijaan pyrkii löytämään määrän, josta muutosnopeus tiedetään. Tämä haara keskittyy sellaisiin käsitteisiin kuin tangenttiviivojen ja nopeuksien rinteet. Vaikka differentiaalilaskenta keskittyy itse käyrään, kiinteä laskenta koskee itseään avaruudessa tai alueella alla käyrä. Integroitua lasketta käytetään kokonaiskokojen tai arvojen, kuten pituuksien, pinta-alojen ja tilavuuksien, kuvaamiseen.

Calculuksella oli keskeinen rooli navigoinnin kehittäminen koska se antoi merimiesten käyttää kuun sijaintia paikallisen ajan tarkkaan määrittämiseen. Paikantaaksesi sijaintinsa merellä, navigaattorien piti mitata sekä aika että kulmat tarkkuudella. Ennen laskennan kehittämistä, laivan navigaattorit ja kapteenit eivät voineet tehdä kumpaakaan.

Laskelma - sekä johdannainen että integraali - auttoi parantamaan tämän tärkeän käsitteen ymmärtämistä maan käyrän, etäisyyden alusten oli kuljettava käyrän ympäri päästäkseen tiettyyn sijaintiin, ja jopa maan, merien ja alusten suuntauksen suhteessa tähteä.

Calculuksella on monia käytännön sovelluksia tosielämässä. Jotkut käsitteitä, jotka käyttävät laskentaa Niihin kuuluvat liike, sähkö, lämpö, ​​valo, harmoniset harmoniat, akustiikka ja tähtitiede. Calculusta käytetään maantieteessä, tietokonenäkössä (kuten autojen itsenäisessä ajamisessa), valokuvauksessa, tekoälyssä, robotiikassa, videopeleissä ja jopa elokuvissa. Calculusta käytetään myös laskemaan radioaktiivisen hajoamisnopeudet kemiassa ja jopa ennustamaan syntyvyyttä ja kuolleisuutta, samoin kuin tutkittaessa painovoimaa ja planeettojen liikettä, nestevirtausta, laivasuunnittelua, geometrisia käyriä ja siltojen suunnittelua.

Esimerkiksi fysiikassa laskutapaa käytetään liikkeen, sähkön, lämmön, valon, harmonisten, akustiikan, tähtitieteen ja dynamiikan määrittelemiseen, selittämiseen ja laskemiseen. Einsteinin suhteellisuusteoria perustuu matematiikan kenttään, joka auttaa myös taloustieteilijöitä ennustamaan, kuinka paljon voittoa yritys tai teollisuus voi saada. Ja sisään laivanrakennus, laskentaa on käytetty monien vuosien ajan laivan rungon kummankin käyrän määrittämiseksi (differentiaalin avulla) kalkkukivi), sekä rungon alla oleva alue (käyttäen kiinteää kalkkikiviä) ja jopa kokonaissuunnittelussa aluksia.

Lisäksi laskelmaa käytetään tarkistamaan vastauksia eri matemaattisille tieteenaloille, kuten tilastot, analyyttinen geometria ja algebra.

Taloustieteilijät arvioivat tarjonnan, kysynnän ja suurimman mahdollisen voiton laskennan avulla. Tarjonta ja kysyntä on loppujen lopuksi kartoitettu käyrällä - ja siihen jatkuvasti muuttuva käyrä.

Taloustieteilijät käyttävät laskelmaa määrittääkseen kysynnän hintajousto. Ne viittaavat jatkuvasti muuttuvaan kysynnän ja tarjonnan käyrään "joustavaksi" ja käyrän vaikutuksiin "joustavuudeksi". Tarkan joustavuuden mittaamiseksi tietyssä Kun tarkennat tarjonta- tai kysyntäkäyrää, sinun on ajateltava äärettömän pienistä hinnanmuutoksista ja seurauksena on sisällytettävä matemaattiset johdannaiset joustavuuteesi. kaavat. Laskennan avulla voit määrittää tietyt kohdat jatkuvasti muuttuvassa tarjonta ja kysyntä -käyrässä.

"Laskennan yhteenveto." Massachusetts Institute of Technology, 10. tammikuuta 2000, Cambridge, MA.