Todennäköisyydet kolmen noppaa liikkuessa

Nopat tarjoavat upeita kuvia käsitteet todennäköisyydessä. Yleisimmin käytetty noppaa on kuuden sivun kuutio. Täällä nähdään kuinka laskea todennäköisyydet kolmen standardinopeuden liikkuvuudelle. On suhteellisen vakiona laskea todennäköisyys summalle, joka on saatu rullaa kaksi noppaa. Kaksi noppaa on yhteensä 36 erilaista rullaa, mikä tahansa summa on 2 - 12 mahdollista.Kuinka ongelma muuttuu, jos lisäämme enemmän noppaa?

Aivan kuten yhdellä kuolemalla on kuusi tulosta ja kahdella noppaa 6² = 36 tulosta, kolmen noppaa vierittämisen todennäköisyyskokeessa on 6³ = 216 tulosta. Tämä ajatus yleistää edelleen enemmän noppaa. Jos rullaamme n noppaa, niin niitä on 6ⁿ tuloksiin.

Voimme myös harkita mahdollisia summia, kun pyöritetään useita noppaa. Pienin mahdollinen summa tapahtuu, kun kaikki noppaa ovat pienimmät tai yksi kutakin. Tämä antaa kolmen summan, kun liikutamme kolme noppaa. Suurin luku suulakkeessa on kuusi, mikä tarkoittaa, että suurin mahdollinen summa tapahtuu, kun kaikki kolme noppaa ovat kuusi. Tämän tilanteen summa on 18.

Kun n noppaa pyöritetään, pienin mahdollinen summa on n ja suurin mahdollinen summa on 6n.

• On yksi mahdollinen tapa, jolla kolme noppaa voi yhteensä 3
• 3 tapaa 4: lle
• 6 5: lle
• 10 6: lle
• 15 7: lle
• 21 8: lle
• 25 9: lle
• 27 10: lle
• 27 11: lle
• 25 12: lle
• 21 13: lle
• 15 14: lle
• 10 15: lle
• 6 16: lle
• 3 17: lle
• 1 18: lle

Kuten edellä käsiteltiin, kolmella nopalla mahdolliset summat sisältävät jokaisen luvun kolmesta 18: een. Todennäköisyydet voidaan laskea käyttämällä laskentastrategioita ja tunnustamme, että etsimme tapoja jakaa numero tarkalleen kolmeksi kokonaiseksi numeroksi. Esimerkiksi, ainoa tapa saada kolmen summa on 3 = 1 + 1 + 1. Koska kukin muotti on toisistaan ​​riippumaton, summa, kuten neljä, voidaan saada kolmella eri tavalla:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Muita laskentaperusteita voidaan käyttää löytääksesi tapoja muodostaa muut summat. Kunkin summan osiot seuraavat:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Kun osion muodostavat kolme eri numeroa, kuten 7 = 1 + 2 + 4, niitä on 3! (3x2x1) eri tapoja permutointilaskutoimitusten nämä numerot. Joten tämä lasketaan kolmeen tulokseen otostilassa. Kun kaksi eri numeroa muodostavat osion, on olemassa kolme eri tapaa pysyttää nämä numerot.

Jaamme kaikkien tapojen saamiseen liittyvien tapojen kokonaismäärän esimerkkitilatai 216. Tulokset ovat:

• Todennäköisyys summan 3: 1/216 = 0,5%
• Todennäköisyys summan 4: 3/216 = 1,4%
• Todennäköisyys summan 5: 6/216 = 2,8%
• 6: n todennäköisyys: 10/216 = 4,6%
• Todennäköisyys summalle 7: 15/216 = 7,0%
• 8: n todennäköisyys: 21/216 = 9,7%
• Todennäköisyys, että summa 9: 25/216 = 11,6%
• 10: n todennäköisyys: 27/216 = 12,5%
• Todennäköisyys summan 11 suhteen: 27/216 = 12,5%
• Summan 12 todennäköisyys: 25/216 = 11,6%
• Todennäköisyys summan 13 suhteen: 21/216 = 9,7%
• Todennäköisyys summan 14 suhteen: 15/216 = 7,0%
• Todennäköisyys summan 15 suhteen: 10/216 = 4,6%
• Todennäköisyys summan 16: 6/216 = 2,8%
• Todennäköisyys summan 17: 3/216 = 1,4%
• Todennäköisyys summan 18 suhteen: 1/216 = 0,5%

Kuten voidaan nähdä, ääriarvot 3 ja 18 ovat vähiten todennäköisiä. Summat, jotka ovat tarkalleen keskellä, ovat todennäköisimpiä. Tämä vastaa sitä, mitä havaittiin, kun kaksi noppaa rullattiin.