Kaksiulotteinen kinematiikka: Liike tasossa

Tässä artikkelissa hahmotellaan peruskäsitteet, joita tarvitaan esineiden liikkeen analysoimiseen kahdessa ulottuvuudessa, ottamatta huomioon kiihtyvyyttä aiheuttavia voimia. Esimerkki tämän tyyppisistä ongelmista olisi pallon heittäminen tai tykinkuula. Se edellyttää perehtymistä yksiulotteinen kinematiikka, koska se laajentaa samat käsitteet kaksiulotteiseksi vektoritilaksi.

Kinematiikkaan sisältyy siirtymä, nopeus ja kiihtyvyys vektorimäärät jotka vaativat sekä suuruuden että suunnan. Siksi aloittaaksesi ongelma kaksiulotteisessa kinematiikassa sinun on ensin määritettävä koordinaattijärjestelmä käytät. Yleensä se tulee olemaan x-akselit ja a y-akselit, jotka on suunnattu siten, että liike on positiiviseen suuntaan, vaikka joissakin olosuhteissa tämä ei ole paras tapa.

Tapauksissa, joissa painovoimaa harkitaan, on tapana tehdä painovoiman suunta negatiiviseen-y suunta. Tämä on yleinen tapa, joka yksinkertaistaa ongelmaa, vaikka laskelmat olisi mahdollista suorittaa eri suunnalla, jos todella haluaisit.

Sijoitusvektori R on vektori, joka siirtyy koordinaattijärjestelmän alkuperästä järjestelmän tiettyyn pisteeseen. Aseman muutos (ΔR, lausutaan "Delta R") on ero lähtöpisteen (R₁) päätepisteeseen (R₂). Me määrittelemme keskimääräinen nopeus (v_av) kuten:

v_av = (R₂ - R₁) / (T₂ - T₁) = ΔR/ΔT

Otetaan raja Δ: naT lähestyy 0: ta, saavutamme hetkellinen nopeusv. Laskennallisesti tämä on johdannainen R kunnioittaen Ttai dR/dt.

Kun aikaero vähenee, aloitus- ja loppupisteet siirtyvät lähemmäksi toisiaan. Koska suunta R on sama suunta kuin v, käy selväksi, että hetkellinen nopeusvektori polun jokaisessa pisteessä on tangentti polulle.

Vektorimäärien hyödyllinen piirre on, että ne voidaan hajottaa komponenttivektoreiksi. Vektorin johdannainen on sen komponenttijohdannaisten summa, joten:

v_x = dx/dt
v_y = dy/dt

Pythagoran lause antaa nopeusvektorin suuruuden muodossa:

|v| = v = sqrt (v_x² + v_y²)

Suunta v on suuntautunut alfa astetta vastapäivään x-komponentti, ja se voidaan laskea seuraavasta yhtälöstä:

rusketus alfa = v_y / v_x

kiihtyvyys on nopeuden muutos tiettynä ajanjaksona. Kuten yllä olevassa analyysissä, havaitaan, että se on Δv/ΔT. Tämän raja Δ: naT lähestyy 0: a, jolloin saadaan derivaatta v kunnioittaen T.

Komponenttien osalta kiihtyvyysvektori voidaan kirjoittaa seuraavasti:

_x = dv_x/dt
_y = dv_y/dt

tai

_x = d²x/dt²
_y = d²y/dt²

Suuruus ja kulma (merkitty numerolla beeta erottaa alfa) nettokiihtyvyysvektorista lasketaan komponenteilla samalla tavalla kuin nopeuden suhteen.

Kaksiulotteiseen kinematiikkaan sisältyy usein merkityksellisten vektorien hajottaminen niiden osaksi x- ja y-komponentit, analysoimalla sitten kaikki komponentit ikään kuin ne olisivat yksiulotteisia tapauksia. Kun tämä analyysi on valmis, nopeuden ja / tai kiihtyvyyden komponentit yhdistetään sitten takaisin yhteen tuloksena olevien kaksiulotteisten nopeus- ja / tai kiihtyvyysvektorien saamiseksi.

Edellä olevia yhtälöitä voidaan kaikkia laajentaa liikettä varten kolmessa ulottuvuudessa lisäämällä a z-osa analyysissä. Tämä on yleensä melko intuitiivista, vaikka on huolehdittava siitä, että tämä tehdään oikeassa muodossa, etenkin vektorin suuntauskulman laskemisessa.

Muokannut Tohtori Anne Marie Helmenstine