Miksi nollatekijä on yhtä suuri?

Nollakerroin on matemaattinen lauseke monille tavoille, joilla järjestetään tietojoukko, jolla ei ole arvoja, mikä on yhtä suuri. Yleensä kertoma luvun numero on lyhyt tapa kirjoittaa kertolasku, jolloin luku kerrotaan jokaisella luvulla, joka on vähemmän kuin se, mutta suurempi kuin nolla. 4! Esimerkiksi = 24 on sama kuin kirjoittaminen 4 x 3 x 2 x 1 = 24, mutta yksi käyttää huutomerkkiä tekijänumeron (neljä) oikealla puolella ilmaisemaan samaa yhtälöä.

Näistä esimerkeistä on melko selvää, kuinka voidaan laskea kaikkien kokonaislukujen tekijä, joka on suurempi tai yhtä kuin yksi, mutta miksi nollakertoimen arvo on matemaattisesta säännöstä huolimatta, että mikä tahansa kerrottuna nollalla on yhtä suuri kuin nolla?

Faktoriaalin määritelmässä todetaan, että 0! = 1. Tämä sekoittaa tyypillisesti ihmiset ensimmäistä kertaa nähdessään tämän yhtälön, mutta näemme alla esimerkkejä siitä, miksi tämä on järkevää, kun tarkastellaan nollan määritelmää, permutaatioita ja kaavoja kertoma.

Ensimmäinen syy siihen, miksi nollakerroin on yhtä kuin yksi, on se, että määritelmän mukaan sen pitäisi olla, mikä on matemaattisesti oikea selitys (jos joskus tyydyttävä). Silti on muistettava, että tekijän määritelmä on kaikkien kokonaislukujen summa, jotka ovat yhtä suuria tai pienempiä kuin alkuperäinen luku - toisin sanoen, tekijä on niiden yhdistelmien lukumäärä, joiden lukumäärä on pienempi tai yhtä suuri kuin luku määrä.

Koska nollalla ei ole pienempiä numeroita kuin se, mutta se on edelleen itsessään luku, on vain yksi mahdollinen yhdistelmä, kuinka kyseinen tietojoukko voidaan järjestää: se ei voi. Tämä lasketaan silti tapana järjestää se, joten määritelmän mukaan nollakerroin on yhtä kuin yhtä, yhtä kuin 1! on yhtä kuin yksi, koska tällä tietojoukolla on vain yksi mahdollinen järjestely.

Jotta tämä ymmärrettäisiin paremmin matemaattisesti, on tärkeää huomata, että tällaisia ​​tekijöitä käytetään määrittämään mahdolliset tietojärjestykset sekvenssi, joka tunnetaan myös nimellä permutaatio, joka voi olla hyödyllistä ymmärtää, että vaikka tyhjässä tai nollajoukossa ei ole arvoja, joukko on silti yksi tapa, jolla on järjestetty.

vaihtelu on erityinen, ainutlaatuinen elementtijärjestys sarjassa. Esimerkiksi joukossa {1, 2, 3} on kuusi permutaatiota, jotka sisältävät kolme elementtiä, koska voimme kirjoittaa nämä elementit seuraavilla kuudella tavalla:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

Voisimme todeta tämän tosiasian myös yhtälön 3 avulla! = 6, joka on faktoriaalinen esitys koko permutaatioiden joukosta. Samalla tavalla on 4! = 24 permutaatiota joukosta, jossa on neljä elementtiä ja 5! = Viisi elementtiä sisältävän sarjan 120 permutaatiota. Joten vaihtoehtoinen tapa ajatella tekijää on antaa n olla luonnollinen luku ja sanoa se n! on permutaatioiden lukumäärä sarjalla, jolla on n elementtejä.

Katsotaanpa vielä muutamaa esimerkkiä tällä tavalla, kun ajattelet tekijää. Setti kahdella elementillä on kaksi permutaatiota: {a, b} voidaan järjestää a, b tai b, a. Tämä vastaa 2: ta! = 2. Yhdellä elementillä varustetulla sarjalla on yksi permutaatio, koska sarjan {1} elementti 1 voidaan tilata vain yhdellä tavalla.

Tämä johtaa meidät nollaan tekijä. Sarjaa, jossa on nolla elementtiä, kutsutaan tyhjä sarja. Nollakertoimen arvon löytämiseksi kysymme: "Kuinka monella tapaa voimme tilata sarjan ilman elementtejä?" Täällä meidän on venytettävä ajattelumme hiukan. Vaikka tilaukseen ei ole mitään, on yksi tapa tehdä tämä. Siten meillä on 0! = 1.

Toinen syy 0: n määritelmälle! = 1 liittyy kaavoihin, joita käytämme permutaatioihin ja yhdistelmiin. Tämä ei selitä miksi nollakerroin on yksi, mutta se osoittaa miksi asetus 0! = 1 on hyvä idea.

Yhdistelmä on ryhmän elementtien ryhmittely ottamatta huomioon järjestystä. Tarkastellaan esimerkiksi joukkoa {1, 2, 3}, jossa on yksi yhdistelmä, joka koostuu kaikista kolmesta elementistä. Riippumatta siitä, kuinka järjestämme nämä elementit, päädymme samaan yhdistelmään.

Käytämme yhdistelmien kaava kolmen elementin yhdistelmällä, jotka otetaan kolme kerrallaan, ja nähdään, että 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), Ja jos käsittelemme 0! tuntemattomana määränä ja ratkaisemaan algebralla, näemme, että 3! 0! = 3! ja niin 0! = 1.

On myös muita syitä, miksi 0: n määritelmä! = 1 on oikein, mutta yllä olevat syyt ovat selkeimmät. Matematiikan yleinen ajatus on, että kun uusia ideoita ja määritelmiä rakennetaan, ne pysyvät yhdenmukainen muun matematiikan kanssa, ja juuri tämän näemme nollakertoimen määritelmässä yhtä kuin yksi.