Yksi suosittu tapa tutkia todennäköisyyttä on heittää noppaa. Tavallisessa suulakkeessa on kuusi puolta, joissa on pieniä pisteitä, jotka numeroivat 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Jos kuolema on oikeudenmukainen (ja me tapaamme olettaa että kaikki ovat), niin kukin näistä tuloksista on yhtä todennäköinen. Koska mahdollista tulosta on kuusi, suulakkeen minkä tahansa sivun saamisen todennäköisyys on 1/6. 1: n vierintätodennäköisyys on 1/6, 2: n vierintätodennäköisyys on 1/6 ja niin edelleen. Mutta mitä tapahtuu, jos lisäämme toisen kuoleman? Mitkä ovat todennäköisyydet kahden noppaa kiertämisen suhteen?
Noppausrulla todennäköisyys
Nopeutumisen todennäköisyyden määrittämiseksi oikein meidän on tiedettävä kaksi asiaa:
- Koko esimerkkitila tai joukko mahdollisia lopputuloksia
- Kuinka usein tapahtuma tapahtuu
Sisään todennäköisyys, tapahtuma on tietty osa näytetilasta. Esimerkiksi, kun vain yksi suulake valssataan, kuten yllä olevassa esimerkissä, näytetila on yhtä suuri kuin kaikki suulakkeen tai joukon arvot (1, 2, 3, 4, 5, 6). Koska muotti on oikeudenmukainen, jokainen sarja sarjassa esiintyy vain kerran. Toisin sanoen kunkin numeron taajuus on 1. Jotta voidaan määrittää minkä tahansa numeron kiertäminen muotissa, jaamme tapahtumataajuuden (1) näytetilan (6) koosta, jolloin saadaan todennäköisyys 1/6.
Kahden reilun nopan vieriminen yli kaksinkertaistaa todennäköisyyslaskennan vaikeuden. Tämä johtuu siitä, että yhden suulakkeen vierintä on riippumaton toisen suulakkeen vierimisestä. Yhdellä telalla ei ole vaikutusta toiseen. Kun käsittelemme itsenäisiä tapahtumia, käytämme kertolasku. Puukaavion käyttö osoittaa, että kahden noppaa liikkuessa on 6 x 6 = 36 mahdollista tulosta.
Oletetaan, että ensimmäinen kiertämämme suulake tulee esiin yhtenä. Toinen suulakitela voi olla 1, 2, 3, 4, 5 tai 6. Oletetaan nyt, että ensimmäinen suulake on 2. Toinen suulakitela voi jälleen olla 1, 2, 3, 4, 5 tai 6. Olemme jo löytäneet 12 potentiaalista lopputulosta, ja meidän ei ole vielä käytetty kaikkia ensimmäisen kuoleman mahdollisuuksia.
Kaksi noppaa vierittävien todennäköisyystaulukko
Kahden nopan pyörittämisen mahdolliset tulokset on esitetty alla olevassa taulukossa. Huomaa, että mahdollisten lopputulosten kokonaismäärä on yhtä suuri kuin ensimmäisen suulakkeen näytetila (6) kerrotun toisen suulakkeen (6) näytetilasta, joka on 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Kolme tai enemmän noppaa
Sama periaate pätee, jos työskentelemme ongelmat, joihin liittyy kolme noppaa. Kerrotaan ja huomaa, että tuloksia on 6 x 6 x 6 = 216. Koska toistuvan kertolaskun kirjoittaminen on hankalaa, voimme käyttää eksponentteja työn yksinkertaistamiseen. Kaksi noppaa on 62 mahdolliset tulokset. Kolmea noppaa kohden on 63 mahdolliset tulokset. Yleensä, jos rullaamme n noppaa, niin niitä on yhteensä 6n mahdolliset tulokset.
Näyteongelmat
Tämän tiedon avulla voimme ratkaista kaikenlaisia todennäköisyysongelmia:
1. Kaksi kuusipuolista noppaa pyöritetään. Mikä on todennäköisyys, että kahden noppaa summa on seitsemän?
Helpoin tapa ratkaista tämä ongelma on tutustua yllä olevaan taulukkoon. Huomaat, että jokaisessa rivissä on yksi noppaa, jossa kahden noppaa summa on yhtä suuri kuin seitsemän. Koska rivejä on kuusi, on olemassa kuusi mahdollista tulosta, joissa kahden noppaa summa on yhtä suuri kuin seitsemän. Mahdollisten lopputulosten lukumäärä on edelleen 36. Jälleen löydämme todennäköisyyden jakamalla tapahtumataajuus (6) näytetilan (36) koosta, jolloin saadaan todennäköisyys 1/6.
2. Kaksi kuusipuolista noppaa pyöritetään. Mikä on todennäköisyys, että summa kahdesta noppaa on kolme?
Edellisessä tehtävässä olet ehkä huomannut, että solut, joissa kahden noppaa summa on yhtä suuri kuin seitsemän, muodostavat diagonaalin. Sama on totta tässä, paitsi tässä tapauksessa on vain kaksi solua, joissa noppaa on kolme. Tämä johtuu siitä, että tulokselle on vain kaksi tapaa. Sinun on vieritettävä 1 ja 2 tai rullattava 2 ja 1. Yhdistelmät seitsemän summan vierimiseksi ovat paljon suuremmat (1 ja 6, 2 ja 5, 3 ja 4, ja niin edelleen). Löytääksemme todennäköisyyden, että kahden noppaa summa on kolme, voimme jakaa tapahtumataajuuden (2) näytetilan (36) koosta, jolloin saadaan todennäköisyys 1/18.
3. Kaksi kuusipuolista noppaa pyöritetään. Mikä on todennäköisyys, että numerot noppaa ovat erilaisia?
Voimme jälleen kerran ratkaista tämän ongelman tutustumalla yllä olevaan taulukkoon. Huomaat, että solut, joissa noppaa sisältävät numerot ovat samat, muodostavat diagonaalin. Niitä on vain kuusi, ja kun ylitämme ne, meillä on jäljellä olevat solut, joissa noppaa olevat numerot ovat erilaisia. Voimme ottaa lukumäärän yhdistelmiä (30) ja jakaa sen näytetilan (36) koon perusteella, mikä johtaa todennäköisyyteen 5/6.