Laskelmat gammatoiminnolla

gamma-toiminto määritellään seuraavalla monimutkaisella näkökulmalla:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}T^z-1dt

Yksi kysymys, joka ihmisillä on, kun he kohtaavat tämän hämmentävän yhtälön, on seuraava: ”Kuinka käytät tätä kaavaa laskeaksesi gammatoiminto? ” Tämä on tärkeä kysymys, koska on vaikea tietää mitä tämä toiminto edes tarkoittaa ja mitä kaikki symbolit edustavat varten.

Yksi tapa vastata tähän kysymykseen on tarkastelemalla useita näytelaskelmia gammatoiminnon avulla. Ennen kuin teemme tämän, meidän on tiedettävä joitain laskennallisia asioita, kuten kuinka integroida tyypin I virheellinen integraali, ja että e on matemaattinen vakio.

Ennen laskelmien tekemistä tarkastelemme laskelmien taustalla olevaa motivaatiota. Usein gammatoiminnot näkyvät kulissien takana. Gammafunktiossa ilmoitetaan useita todennäköisyystiheysfunktioita. Esimerkkejä näistä ovat gammajakauma ja opiskelijoiden t-jakauma. Gammafunktion merkitystä ei voida yliarvioida.

Ensimmäinen esimerkkilaskelma, jota tutkimme, on gammafunktion arvon löytäminen for (1): lle. Tämä löytyy asettamalla

∫₀^∞e ^{- t}dt

Laskemme yllä olevan integraalin kahdessa vaiheessa:

• Määrittelemätön integraali ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Tämä on virheellinen integraali, joten meillä on ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Seuraava esimerkkilaskelma, jota tarkastelemme, on samanlainen kuin viimeinen esimerkki, mutta lisäämme z 1 Laskemme nyt gamma-funktion arvon Γ (2): lle asettamalla z = 2 yllä olevassa kaavassa. Vaiheet ovat samat kuin yllä:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Määrittelemätön integraali ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Vaikka olemme vain lisänneet z 1: lla tämän integraalin laskeminen vie enemmän työtä. Tämän integraalin löytämiseksi meidän on käytettävä tekniikkaa, joka on saatu calculuksesta integraatio osittain. Käytämme nyt integraation rajoituksia kuten yllä ja meidän on laskettava:

lim_{b → ∞}- olla ^{- b} -e ^{- b} -0E ⁰ + e ⁰.

Tulos L'Hospitalin säännön mukaisesta laskelmasta antaa meille mahdollisuuden laskea raja-arvo_{b → ∞}- olla ^{- b} = 0. Tämä tarkoittaa, että yllä olevan integraalin arvo on 1.

Toinen ominaisuus gammafunktiossa ja se, joka yhdistää sen gammafunktioon kertoma on kaava Γ (z +1 ) =zΓ (z ) varten z mikä tahansa kompleksinen luku positiivisella todellinen osa. Syy, miksi tämä on totta, on suora tulos gamma-funktion kaavasta. Käyttämällä osien integrointia voimme saada aikaan tämän gammafunktion ominaisuuden.