Mikä on todennäköisyyden odotettu arvo?

Olet karnevaalilla ja näet pelin. 2 dollarilla kierrät tavallisen kuusipuolisen muotin. Jos näytössä oleva numero on kuusi, voitat 10 dollaria, muuten et voita mitään. Jos yrität ansaita rahaa, onko sinun kiinnostava pelata peliä? Tällaiseen kysymykseen vastaamiseksi tarvitsemme odotetun arvon käsitteen.

Odotetun arvon voidaan todella ajatella olevan satunnaismuuttujan keskiarvo. Tämä tarkoittaa, että jos suoritit todennäköisyyskokeen yhä uudelleen ja seuraat tuloksia, odotettu arvo on keskiverto kaikista saaduista arvoista. Odotettu arvo on se, mitä sinun pitäisi ennakoida tapahtuvan pitkällä aikavälillä monien uhkapelejä koskevien kokeilujen aikana.

Edellä mainittu karnevaalipeli on esimerkki erillisestä satunnaismuuttujasta. Muuttuja ei ole jatkuva ja jokainen tulos tulee meille lukuna, joka voidaan erottaa muista. Löydä tulos, jolla on tuloksia, odotettu arvo x₁, x₂,..., x_n todennäköisyyksillä p₁, p₂,... , p_n, laske:

x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n.

Yllä olevassa pelissä sinulla on 5/6 todennäköisyys voittaa mitään. Tuloksen arvo on -2, koska kulut 2 dollaria pelaamaan peliä. Kuudella on 1/6 todennäköisyys ilmestyä, ja tämän arvon tulos on 8. Miksi 8 ja ei 10? Jälleen meidän on otettava huomioon 2 dollaria, jonka maksoimme pelata, ja 10 - 2 = 8.

Liitä nämä arvot ja todennäköisyydet nyt odotettuun arvokaava ja lopuksi: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Tämä tarkoittaa, että pitkällä aikavälillä sinun pitäisi odottaa menettävän keskimäärin noin 33 senttiä joka kerta kun pelaat tätä peliä. Kyllä, voitat joskus. Mutta menetät useammin.

Oletetaan nyt, että karnevaalipeliä on muutettu hieman. Samasta 2 dollarin osallistumismaksusta, jos näytössä oleva numero on kuusi, voitat 12 dollaria, muuten et voita mitään. Tämän pelin odotettu arvo on -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Pitkällä aikavälillä et menetä rahaa, mutta et voita. Älä odota näkeväsi peliä näillä numeroilla paikallisella karnevaalilla. Jos pitkällä tähtäimellä et menetä rahaa, karnevaali ei tuota mitään.

Käänny nyt kasinolle. Samalla tavalla kuin ennen voimme laskea uhkapelien, kuten ruletin, odotettavissa olevan arvon. Yhdysvalloissa rulettipyörässä on 38 numeroitua lähtöä välillä 1 - 36, 0 ja 00. Puolet 1-36: sta ovat punaisia, puolet mustia. Sekä 0 että 00 ovat vihreitä. Pallo laskeutuu sattumanvaraisesti yhteen lähtöpaikkaan, ja vedot asetetaan sinne, missä pallo laskeutuu.

Yksi yksinkertaisimmista vedoista on panostaa punaisella. Jos panostat 1 dollaria ja pallo laskeutuu punaiseen numeroon pyörässä, voitat 2 dollaria. Jos pallo laskeutuu pyörän mustalle tai vihreälle alueelle, et voi voittaa mitään. Mikä on tämän kaltaisen vedon odotettu arvo? Koska punaisia ​​alueita on 18, voitto todennäköisyys 18/38, nettovoitto 1 dollari. On todennäköistä, että menetät alkuperäisen 1 dollarin panoksesi 20/38. Tämän vedon odotettu arvo vuonna ruletti on 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, mikä on noin 5,3 senttiä. Täällä talolla on pieni reuna (kuten kaikissa kasinopeleissä).

Katsele toisena esimerkkinä a arpajaiset. Vaikka miljoonia voit voittaa yhden dollarin lipun hinnasta, arpajaisten odotettu arvo osoittaa, kuinka epäoikeudenmukaisesti se on rakennettu. Oletetaan, että 1 dollarilla valitset kuusi numeroa välillä 1 - 48. Kaikkien kuuden numeron oikean valinnan todennäköisyys on 1/12 271 512. Jos voitat miljoonan dollarin saadaksesi kaikki kuusi oikein, mikä on tämän arvonnan odotettu arvo? Mahdolliset arvot ovat - 1 dollari menetyksestä ja 999 999 dollaria voittamisesta (meidän on jälleen otettava huomioon pelin kustannukset ja vähennettävä tämä voitoista). Tämä antaa meille odotetun arvon:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Joten jos pelaat arpajaistoa uudestaan ​​ja uudestaan, menetät pitkällä aikavälillä noin 92 senttiä - melkein kaikki lippuhintasi - joka kerta kun pelaat.

Kaikki yllä olevat esimerkit tarkastelevat erillistä kuvaa Satunnaismuuttuja. On kuitenkin mahdollista määritellä odotettu arvo myös jatkuvalle satunnaismuuttujalle. Ainoa mitä meidän on tehtävä tässä tapauksessa, on korvata kaavan summaatio integraalilla.

On tärkeää muistaa, että odotettu arvo on keskiarvo monien a-kokeiden jälkeen satunnainen prosessi. Lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttujan keskiarvo voi poiketa merkittävästi odotetusta arvosta.