Kuinka monta elementtiä on virtajoukossa?

virta asetettu joukosta on kaikkien A-osajoukkojen kokoelma. Kun työskentelet äärellisen kanssa aseta kanssa n Elementtejä, yksi kysymys, jonka voimme kysyä, on: ”Kuinka monta elementtiä on voimajoukossa ?” Näemme, että vastaus tähän kysymykseen on 2ⁿ ja todista matemaattisesti, miksi tämä on totta.

Etsimme mallia tarkkailemalla elementtien lukumäärää tehojoukossa , missä on n elementit:

• Jos = {} (tyhjä sarja), sitten ei ole elementtejä, mutta P (A) = {{}}, joukko yhdellä elementillä.
• Jos = {a}, sitten on yksi elementti ja P (A) = {{}, {a}}, sarja, jossa on kaksi elementtiä.
• Jos = {a, b}, sitten on kaksi elementtiä ja P (A) = {{}, {a}, {b}, {a, b}}, sarja, jossa on kaksi elementtiä.

Kaikissa näissä tilanteissa se on suoraviivainen setit pienellä määrällä elementtejä, jotka jos on rajallinen määrä n elementit , sitten virta asetettu P () on 2n elementtejä. Mutta jatkuuko tämä malli? Vain siksi, että malli on totta n = 0, 1 ja 2 ei välttämättä tarkoita, että kaava on totta suuremmille arvoille n.

Mutta tämä malli jatkuu. Käytämme todisteita induktion avulla osoittaaksesi, että näin on.

Induktio-todiste on hyödyllinen todistamaan lausunnot, jotka koskevat kaikkia luonnollisia lukuja. Saavutamme tämän kahdessa vaiheessa. Ensimmäisessä vaiheessa ankkuroimme todisteemme esittämällä oikean lausunnon ensimmäisen arvon n jota haluamme harkita. Toinen askel todisteemme on olettaa, että lausunto pätee n = K, ja osoittaa, että tämä viittaa lausuntoon n = K + 1.

Jotta voimme auttaa todisteitamme, tarvitsemme uuden havainnon. Yllä olevista esimerkeistä voimme nähdä, että P ({a}) on P: n ({a, b}) osajoukko. {A}: n osajoukot muodostavat tarkalleen puolet {a, b}: n osajoukoista. Voimme saada kaikki {a, b}: n osajoukot lisäämällä elementin b jokaisessa {a} -alajoukossa. Tämä joukkojen lisäys suoritetaan liitoksen asetetulla toiminnalla:

• Tyhjä joukko U {b} = {b}
• {a} U {b} = {a, b}

Nämä ovat kaksi uutta elementtiä P ({a, b}), jotka eivät olleet P ({a}).

Näemme samanlaisen tapahtuman P: lle ({a, b, c}). Aloitamme neljästä joukosta P ({a, b}) ja jokaiselle lisäämme elementin c:

• Tyhjä joukko U {c} = {c}
• {a} U {c} = {a, c}
• {b} U {c} = {b, c}
• {a, b} U {c} = {a, b, c}

Ja niin meillä on yhteensä kahdeksan elementtiä P: ssä ({a, b, c}).

Olemme nyt valmiita todistamaan lausunnon: “Jos sarja sisältää n elementtejä, sitten tehojoukko P (A) on 2ⁿ elementtejä.”

Aloitamme huomauttamalla, että induktiotodistus on ankkuroitu tapauksiin n = 0, 1, 2 ja 3. Oletetaan induktiolla, jota lausunto koskee K. Anna nyt sarjan sisältää n + 1 elementtiä. Voimme kirjoittaa = B U {x}, ja harkitse kuinka muodostaa alajoukot .

Otamme kaikki elementit P (B), ja induktiivisella hypoteesilla on 2ⁿ Näiden. Sitten lisäämme elementin x jokaiselle näistä alajoukoista B, jolloin saadaan toinen 2ⁿ osajoukot B. Tämä tyhjentää luettelon alajoukosta B, ja siten summa on 2ⁿ + 2ⁿ = 2(2ⁿ) = 2^{n + 1} - teholähteen elementit .