Mikä on negatiivinen binomijakauma?

Negatiivinen binomijakauma on a todennäköisyysjakauma jota käytetään erillisten satunnaismuuttujien kanssa. Tämäntyyppinen jakelu koskee kokeiden lukumäärää, joka on tapahduttava ennalta määrätyn määrän onnistumisten saamiseksi. Kuten näemme, negatiivinen binomijakauma liittyy binomijakauma. Lisäksi tämä jakauma yleistää geometrisen jakauman.

Aloitamme tarkastelemalla sekä asetusta että olosuhteita, jotka aiheuttavat negatiivisen binomijakauman. Monet näistä olosuhteista ovat hyvin samanlaisia ​​kuin binomi-asetus.

1. Meillä on Bernoulli-kokeilu. Tämä tarkoittaa, että jokaisella suorittamallamme kokeilulla on selkeästi määritelty menestys ja epäonnistuminen ja että nämä ovat ainoat tulokset.
2. Menestymisen todennäköisyys on vakio riippumatta siitä, kuinka monta kertaa suoritamme kokeen. Merkitsemme tätä jatkuvaa todennäköisyyttä a: lla s.
3. Koe toistetaan X riippumattomat tutkimukset, mikä tarkoittaa, että yhden tutkimuksen tuloksella ei ole vaikutusta seuraavan tutkimuksen tulokseen.

Nämä kolme ehtoa ovat identtisiä binomijakauman olosuhteiden kanssa. Ero on siinä, että binomiomaisella satunnaismuuttujalla on kiinteä lukumäärä kokeita

Negatiivinen binomijakauma liittyy kokeiden lukumäärään X sen on tapahduttava, kunnes meillä on R onnistumisia. Numero R on kokonaisluku, jonka valitsemme ennen kokeiden aloittamista. Satunnaismuuttuja X on edelleen erillinen. Nyt satunnaismuuttuja voi kuitenkin ottaa arvoja X = r, r + 1, r + 2,... Tämä satunnaismuuttuja on laskettavasti ääretön, koska se voi viedä mielivaltaisen kauan ennen kuin saamme R onnistumisia.

Negatiivisen binomijakauman jakamisen ymmärtämiseksi on syytä harkita esimerkkiä. Oletetaan, että kääntämme reilun kolikon ja kysymme: "Mikä on todennäköisyys, että saamme kolme päätä ensimmäiseen X coin flips? "Tämä on tilanne, joka vaatii negatiivisen binomijakauman.

Kolikolla on kaksi mahdollista tulosta, onnistumisen todennäköisyys on vakio 1/2 ja kokeet ovat riippumattomia toisistaan. Pyydämme todennäköisyyttä saada kolme ensimmäistä päätä jälkeen X kolikko kääntyy. Siksi meidän täytyy kääntää kolikko ainakin kolme kertaa. Sen jälkeen jatkamme kääntöä, kunnes kolmas pää tulee näkyviin.

Negatiiviseen binomijakaumaan liittyvien todennäköisyyksien laskemiseksi tarvitsemme lisätietoja. Meidän on tiedettävä todennäköisyysmassatoiminto.

Negatiivisen binomijakauman todennäköisyysmassofunktiota voidaan kehittää vähän ajatellen. Jokaisella kokeilulla on todennäköisyys menestyä s. Koska mahdollista tulosta on vain kaksi, tämä tarkoittaa, että epäonnistumisen todennäköisyys on vakio (1 - p ).

Rth menestys täytyy tapahtua xkolmas ja viimeinen oikeudenkäynti. Edellinen x - 1 kokeen on sisällettävä tarkalleen r - 1 onnistumisia. Yhdistelmien lukumäärä antaa tapaa, jolla tämä tapahtuu:

C (x - 1, R -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Tämän lisäksi meillä on itsenäisiä tapahtumia, joten voimme kertoa todennäköisyytemme yhdessä. Laittamalla tämä kaikki yhteen saadaan todennäköisyysmassafunktio

f(x) = C (x - 1, R -1) p^R(1 - p)^{x - r}.

Nyt pystymme ymmärtämään, miksi tällä satunnaismuuttujalla on negatiivinen binomijakauma. Edellä havaittujen yhdistelmien lukumäärä voidaan kirjoittaa eri tavalla asettamalla x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! K!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /K! = (-1)^K(-r) (- r - 1).. (- r - (k + 1) / k !.

Täällä nähdään negatiivisen binomi-kerroimen ulkonäkö, jota käytetään, kun nostamme binomi-lausekkeen (a + b) negatiiviseen voimaan.

Jakauman keskiarvo on tärkeää tietää, koska se on yksi tapa osoittaa jakauman keskipiste. Tämän tyyppisen satunnaismuuttujan keskiarvo saadaan sen odotetulla arvolla ja on yhtä suuri kuin R / p. Voimme todistaa tämän huolellisesti käyttämällä momentin tuottava toiminto tätä jakelua varten.

Intuitio ohjaa meitä myös tähän ilmaisuun. Oletetaan, että suoritamme sarjan kokeita n₁ kunnes saamme R onnistumisia. Ja sitten teemme tämän uudelleen, vain tällä kertaa se vie n₂ tutkimuksissa. Jatkamme tätä uudestaan ​​ja uudestaan, kunnes meillä on suuri joukko kokeita N = n₁ + n₂ +... +n_k.

Jokainen näistä K tutkimukset sisältävät R menestyksiä, ja niin meillä on yhteensä kr onnistumisia. Jos N on suuri, niin odotettaisiin nähdä Np onnistumisia. Siksi me rinnastamme nämä yhteen ja meillä on kr = Np.

Teemme jonkin verran algebraa ja löydämme sen N / k = r / p. Tämän yhtälön vasemmalla puolella oleva murto on kullekin meidän vaadittavien kokeiden keskimääräinen lukumäärä K tutkimusryhmät. Toisin sanoen tämä on odotettu määrä kokeita suorittaa niin, että meillä on yhteensä R onnistumisia. Tämä on juuri se odotus, jonka haluamme löytää. Näemme, että tämä on yhtä suuri kuin kaava r / p.

Negatiivisen binomijakauman varianssi voidaan myös laskea käyttämällä momentinmuodostusfunktiota. Kun teemme tämän, näemme tämän jakauman varianssin seuraavan kaavan avulla:

r (1 - p)/p²

Tämän tyyppiselle satunnaismuuttujalle momentin tuottava toiminto on melko monimutkainen. Muista, että momentin generoiva funktio on määritelty odotetuksi arvoksi E [e^tX]. Käyttämällä tätä määritelmää todennäköisyysmassofunktiomme kanssa, meillä on:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] E^tXp^R(1 - p)^{x - r}

Jonkin algebran jälkeen siitä tulee M (t) = (pe^T)^R[1- (1- p) e^T]^-r

Olemme edellä nähneet, kuinka negatiivinen binomijakauma on monella tavalla samanlainen kuin binomijakauma. Tämän yhteyden lisäksi negatiivinen binomijakauma on geometrisen jakauman yleisempi versio.

Geometrinen satunnaismuuttuja X laskee tarvittavien kokeiden määrän ennen ensimmäisen menestyksen syntymistä. On helppo nähdä, että tämä on tarkalleen negatiivinen binomijakauma, mutta R yhtä kuin yksi.

Muita negatiivisen binomijakauman formulaatioita on olemassa. Jotkut oppikirjat määrittelevät X olla kokeiden lukumäärä vuoteen 2010 saakka R vikoja tapahtuu.

Tarkastelemme esimerkki-ongelmaa nähdäksemme kuinka toimia negatiivisen binomijakauman kanssa. Oletetaan, että koripalloilija on 80% ilmainen heittäjä. Oletetaan lisäksi, että yhden vapaan heiton tekeminen on riippumaton seuraavan tekemisestä. Mikä on todennäköisyys, että tälle pelaajalle kahdeksas kori tehdään kymmenennessä vapaaheitossa?

Näemme, että meillä on asetus negatiiviselle binomijakaumalle. Jatkuva onnistumisen todennäköisyys on 0,8, joten epäonnistumisen todennäköisyys on 0,2. Haluamme määrittää X = 10: n todennäköisyyden, kun r = 8.

Yhdistämme nämä arvot todennäköisyysmassatoimintoomme:

f (10) = C (10-1, 8 - 1) (0,8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)², mikä on noin 24%.

Voisimme sitten kysyä, mikä on keskimääräinen vapaaheittojen määrä, ennen kuin tämä pelaaja tekee niistä kahdeksan. Koska odotettu arvo on 8 / 0,8 = 10, tämä on otosten lukumäärä.