Tšebyshevin epätodennäköisyys todennäköisyydessä

Tšebyshevin epätasa-arvon mukaan vähintään 1-1 /K² näytteen tietojen tulee kuulua kohtaan K standardipoikkeamat keskiarvosta (tässä K on mitään positiivista oikea numero suurempi kuin yksi).

Mikä tahansa tietojoukko, joka on normaalisti jaettu tai a: n muotoinen kellokäyrä, on useita ominaisuuksia. Yksi niistä käsittelee datan leviämistä suhteessa keskihajontaan. Normaalijakaumassa tiedämme, että 68% tiedoista on yksi standardipoikkeama keskiarvosta, 95% on kaksi standardipoikkeamat keskiarvosta ja noin 99% on kolmen standardipoikkeaman keskiarvosta.

Mutta jos tietojoukkoa ei ole jaettu kellokäyrän muodossa, eri määrä voi olla yhden standardipoikkeaman sisällä. Tšebyshevin epätasa-arvo tarjoaa tavan tietää, mikä osa tiedoista kuuluu K standardipoikkeamat vuoden keskiarvosta minkä tahansa tietojoukko.

Voimme myös todeta yllä olevan epätasa-arvon korvaamalla ilmauksen ”näytteen tiedot” ilmaisulla todennäköisyysjakauma. Tämä johtuu siitä, että Tšebyshevin epätasa-arvo johtuu todennäköisyydestä, jota voidaan sitten soveltaa tilastoihin.

On tärkeää huomata, että tämä eriarvoisuus on tulos, joka on todistettu matemaattisesti. Se ei ole kuin empiirinen suhde keskiarvon ja moodin välillä tai nyrkkisääntö joka yhdistää alueen ja keskihajonnan.

Eriarvoisuuden havainnollistamiseksi tarkastelemme sitä muutamalla arvolla K:

• varten K = 2 meillä on 1 - 1 /K² = 1 - 1/4 = 3/4 = 75%. Joten Chebyshevin epätasa-arvoisuus sanoo, että ainakin 75%: n kaikista jakauman data-arvoista on oltava keskiarvon kahden standardipoikkeaman sisällä.
• varten K = 3 meillä on 1 - 1 /K² = 1 - 1/9 = 8/9 = 89%. Joten Chebyshevin epätasa-arvoisuus sanoo, että ainakin 89%: n kaikista jakaumien data-arvoista on oltava keskiarvon kolmen standardipoikkeaman sisällä.
• varten K = 4 meillä on 1 - 1 /K² = 1 - 1/16 = 15/16 = 93.75%. Joten Chebyshevin epätasa-arvoisuus sanoo, että ainakin 93,75%: n kaikista jakauman data-arvoista on oltava keskiarvon kahden standardipoikkeaman sisällä.

Oletetaan, että olemme näytteilleet koirien painot paikallisesta eläinsuojasta ja havainneet, että näytteessämme on keskimäärin 20 kiloa normaalipoikkeamalla 3 kiloa. Chebyshevin epätasa-arvoa käytettäessä tiedämme, että ainakin 75 prosentilla näytteistämme koirista on paino, joka on kaksi standardipoikkeamaa keskiarvosta. Kaksi kertaa keskihajonta antaa meille 2 x 3 = 6. Vähennä ja lisää tämä 20: n keskiarvosta. Tämä kertoo meille, että 75 prosentilla koirista on paino 14–26 kiloa.

Jos tiedämme enemmän jakelusta, jonka kanssa työskentelemme, voimme yleensä taata, että enemmän tietoja on tietty määrä standardipoikkeamia keskimääräisestä etäisyydestä. Esimerkiksi, jos tiedämme, että meillä on normaali jakauma, niin 95% tiedoista on kaksi standardipoikkeamaa keskiarvosta. Tšebyshevin eriarvoisuus sanoo, että tässä tilanteessa me tiedämme sen vähintään 75% tiedoista on kaksi standardipoikkeamaa keskiarvosta. Kuten tässä tapauksessa voimme nähdä, se voi olla paljon enemmän kuin tämä 75%.

Epätasa-arvon arvo on, että se antaa meille ”pahemman tapauksen” skenaarion, jossa ainoat asiat, jotka me tiedämme otatiedoistamme (tai todennäköisyysjakaumasta), ovat keskiarvo ja keskihajonta. Kun emme tiedä mitään muuta tiedoistamme, Chebyshevin epätasa-arvo antaa jonkin verran ymmärrystä tietojoukon jakautumisesta.

Eriarvoisuus on nimetty venäläisen matemaatikon Pafnuty Chebyshevin mukaan, joka totesi eriarvoisuuden ensimmäisen kerran ilman todisteita vuonna 1874. Kymmenen vuotta myöhemmin Markov todisti epätasa-arvoisuudesta tohtorintutkinnossaan. väitöskirja. Koska venäjän aakkosten esitys englanniksi vaihtelee, Chebyshev on myös kirjoitettu nimellä Tchebysheff.