Mikä on eksponentiaalisen jakauman vinous?

yhteinen parametrit varten todennäköisyysjakauma sisältää keskiarvon ja keskihajonnan. Keskiarvo antaa keskipisteen mittauksen ja keskihajonta kertoo, kuinka jakauma on jakautunut. Näiden tunnettujen parametrien lisäksi on muitakin, jotka kiinnittävät huomiota muihin ominaisuuksiin kuin leviämiseen tai keskipisteeseen. Yksi tällainen mittaus on skewness. Kaltevuus antaa tavan kiinnittää numeerinen arvo jakauman epäsymmetriaan.

Yksi tärkeä jakauma, jota tutkimme, on eksponentiaalijakauma. Näemme kuinka todistaa, että eksponentiaalisen jakauman vinous on 2.

Aloitamme ilmoittamalla eksponentiaalijakauman todennäköisyystiheysfunktio. Kummallakin näillä hajautuksilla on parametri, joka liittyy parametriin liittyvästä Poisson-prosessi. Tätä jakaumaa kutsutaan nimellä Exp (A), missä A on parametri. Tämän jakauman todennäköisyystiheysfunktio on:

f(x) = e^{-x/ A}/ A, missä x on negatiivinen.

Tässä e on matemaattinen jatkuva e eli noin 2,718281828. Eksponentiaalijakauman Exp (A) keskiarvo ja keskihajonta liittyvät molemmat parametriin A. Itse asiassa keskimääräinen ja keskihajonta ovat molemmat yhtä suuret kuin A.

Kaltevuus määritetään lausekkeella, joka liittyy kolmanteen momenttiin keskiarvon kohdalla. Tämä lauseke on odotettu arvo:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Korvaamme μ ja σ A: lla, ja tuloksena on, että vinous on E [X³] / A³ – 4.

Ainoa jäljellä on laskea kolmas hetki alkuperästä. Tätä varten meidän on integroitava seuraava:

∫^∞₀x³f(x) dx.

Tällä integraalilla on ääretön yhden raja-arvonsa suhteen. Siksi sitä voidaan pitää tyypin I virheellisenä integraalina. Meidän on myös määritettävä, mitä integraatiotekniikkaa käytetään. Koska integrointitoiminto on polynomi- ja eksponentiaalifunktio, meidän on käytettävä sitä integraatio osittain. Tätä integraatiotekniikkaa sovelletaan useita kertoja. Lopputulos on seuraava:

E [X³] = 6A³

Yhdistämme tämän sitten edellisen yhtälömme kanssa vinossa suhteessa. Näemme, että vinous on 6 - 4 = 2.

On tärkeää huomata, että tulos on riippumaton erityisestä eksponentiaalijakautumisesta, josta aloitamme. Eksponentiaalijakauman vinous ei ole riippuvainen parametrin A arvosta.

Lisäksi näemme, että tulos on positiivinen vinous. Tämä tarkoittaa, että jakauma on vinossa oikealle. Tämän ei pitäisi olla yllättävää, kun ajatellaan todennäköisyystiheysfunktion kuvaajan muotoa. Kaikissa tällaisissa jakaumissa on y-leikkaus kuten 1 // teeta ja häntä, joka menee kuvaajan oikealle reunaan, mikä vastaa muuttujan korkeita arvoja x.

Meidän on tietenkin myös mainittava, että on olemassa toinen tapa laskea vinous. Voimme hyödyntää momentinmuodostusfunktiota eksponentiaalijakaumalle. Ensimmäinen johdannainen momentin tuottava toiminto Arvioituna 0 antaa meille E [X]. Samoin momentin muodostavan funktion kolmas johdannainen, kun sitä arvioidaan 0: ssa, antaa meille E (X³].