Jos pyydät joku nimeämään hänen suosikki matemaattiset vakio, saat todennäköisesti quizzical näyttää. Jonkin ajan kuluttua joku voi ilmoittautua vapaaehtoiseksi paras vakio on pi. Mutta tämä ei ole ainoa tärkeä matemaattinen vakio. Sulje sekunti, jos ei, haastaja yleisimmän vakion kruunulle on e. Tämä luku näkyy laskennassa, lukuteoriassa, todennäköisyydessä ja tilasto. Tutkimme joitain tämän huomattavan luvun ominaisuuksista ja selvitämme sen yhteyksiä tilastoihin ja todennäköisyyteen.
Jonkin arvo e
Kuten pi, e on irrationaalinen oikea numero. Tämä tarkoittaa, että sitä ei voida kirjoittaa murto-osana ja että sen desimaalinen laajennus jatkuu ikuisesti ilman toistuvaa numeroryhmää, joka jatkuvasti toistuu. Numero e on myös transsendentaalinen, mikä tarkoittaa, että se ei ole ei-nolla-polynomin juuri, jolla on rationaaliset kertoimet. Ensimmäiset viisikymmentä desimaalia on annettu e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Määritelmä e
Numero e löysivät ihmiset, jotka olivat kiinnostuneita yhdistelmäkorosta. Tässä koron muodossa päämies ansaitsee koron ja sitten syntyvä korko ansaitsee koron itselleen. Havaittiin, että mitä useampi yhdistelmäjaksojen määrä vuodessa on, sitä suurempi koron määrä on. Voisimme esimerkiksi katsoa, että kiinnostus yhdistyy:
- Vuosittain tai kerran vuodessa
- Puolivuosittain tai kahdesti vuodessa
- Kuukausittain tai 12 kertaa vuodessa
- Päivittäin tai 365 kertaa vuodessa
Korkojen kokonaismäärä nousee kussakin näissä tapauksissa.
Esiin nousi kysymys siitä, kuinka paljon rahaa voitaisiin mahdollisesti ansaita korkoilla. Yrittääksemme ansaita vielä enemmän rahaa voisimme teoriassa lisätä yhdistelmäjaksojen määrän niin suureen määrään kuin halusimme. Kasvun lopputulos on, että harkitsemme kiinnostusta jatkuvasti lisääntyvän.
Vaikka kiinnostus kasvaa, se tapahtuu hyvin hitaasti. Tilillä olevan rahan kokonaismäärä tosiasiassa vakiintuu ja arvo, johon tämä vakautuu e. Ilmaistaksemme tämän matemaattisen kaavan avulla sanomme, että raja as n lisäykset (1 + 1 /n)n = e.
Käyttötavat e
Numero e näkyy koko matematiikan ajan. Tässä on muutama paikka, jossa se näyttää:
- Se on luonnollisen logaritmin perusta. Koska Napier keksi logaritmeja, e kutsutaan joskus Napierin vakiona.
- Laskennassa eksponentiaalifunktio ex on ainutlaatuinen ominaisuus olla oma johdannainen.
- Lausekkeet, joihin liittyy ex ja e-x yhdistetään muodostamaan hyperbolinen sini- ja hyperbolinen kosinitoiminto.
- Eulerin työn ansiosta tiedämme, että matematiikan perusvakiot liittyvät toisiinsa kaavalla eiΠ + 1 = 0, missä minä on kuvitteellinen luku, joka on negatiivisen neliöjuuri.
- Numero e näkyy erilaisissa kaavoissa koko matematiikassa, etenkin lukuteorian alueella.
Arvo e Tilastossa
Numeron merkitys e ei rajoitu vain muutamiin matematiikan osa-alueisiin. Numerolla on myös useita käyttötapoja e tilastoissa ja todennäköisyydessä. Muutamia näistä ovat seuraavat:
- Numero e tekee ulkonäön kaava gammafunktiolle.
- Kaavat normaali normaalijakauma sisältyy e negatiiviseen voimaan. Tämä kaava sisältää myös pi.
- Moniin muihin jakeluihin sisältyy numeron käyttö e. Esimerkiksi t-jakauman, gammajakauman ja chi-neliöjakauman kaavat sisältävät kaikki luvun e.