Yhdistävät ja kommutatiiviset ominaisuudet

On olemassa useita matemaattisia ominaisuuksia, joita käytetään tilasto ja todennäköisyys; näistä kaksi, kommutatiiviset ja assosiatiiviset ominaisuudet, liittyvät yleensä aritmeettiseen perusarvoon kokonaislukuja, rationaaliset ja todelliset luvut, vaikka ne näkyvät myös edistyneemmässä matematiikassa.

Nämä ominaisuudet - kommutatiivinen ja assosiatiivinen - ovat hyvin samankaltaisia ​​ja ne voidaan helposti sekoittaa. Tästä syystä on tärkeää ymmärtää ero näiden kahden välillä.

Kommutatiivinen ominaisuus koskee tiettyjen matemaattisten operaatioiden järjestystä. Binaarioperaatiossa - joka sisältää vain kaksi elementtiä - tämä voidaan osoittaa yhtälöllä a + b = b + a. Operaatio on kommutatiivinen, koska elementtien järjestys ei vaikuta toiminnan tulokseen. Assosiatiivinen ominaisuus puolestaan ​​koskee elementtien ryhmittelyä toiminnassa. Tämä voidaan osoittaa yhtälöllä (a + b) + c = a + (b + c). Elementtien ryhmittely, kuten suluissa on osoitettu, ei vaikuta yhtälön tulokseen. Huomaa, että kun kommutatiivista ominaisuutta käytetään, yhtälön elementit ovat

Kommutatiivisen ominaisuuden mukaan yksinkertaisesti sanottuna yhtälön tekijät voidaan järjestää vapaasti muuttamatta yhtälön lopputulosta. Kommutatiivinen ominaisuus koskee siis operaatioiden järjestämistä, mukaan lukien reaalilukujen, kokonaislukujen ja rationaalilukujen lisääminen ja kertominen.

Esimerkiksi numerot 2, 3 ja 5 voidaan yhdistää missä tahansa järjestyksessä vaikuttamatta lopputulokseen:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

Numerot voidaan samoin kertoa missä tahansa järjestyksessä vaikuttamatta lopputulokseen:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

Vähennys ja jakaminen eivät kuitenkaan ole operaatioita, jotka voivat olla kommutatiivisia, koska operaatioiden järjestys on tärkeä. Kolme numeroa yllä ei voiesimerkiksi vähennetään missä tahansa järjestyksessä vaikuttamatta lopulliseen arvoon:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

Seurauksena kommutatiivinen ominaisuus voidaan ilmaista yhtälöillä a + b = b + a ja a x b = b x a. Näiden yhtälöiden arvojärjestyksestä riippumatta tulokset ovat aina samat.

Assosiatiivisessa ominaisuudessa todetaan, että tekijöiden ryhmittelyä operaatiossa voidaan muuttaa vaikuttamatta yhtälön tulokseen. Tämä voidaan ilmaista yhtälöllä a + (b + c) = (a + b) + c. Riippumatta siitä, mikä arvoparia yhtälöön lisätään ensin, tulos on sama.

Otetaan esimerkiksi yhtälö 2 + 3 + 5. Arvojen ryhmittelystä riippumatta yhtälön tulos on 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Kuten kommutatiivisessa ominaisuudessa, esimerkkejä assosiatiivisista operaatioista ovat reaalilukujen, kokonaislukujen ja rationaalilukujen lisääminen ja kertominen. Toisin kuin kommutatiivinen ominaisuus, assosiatiivista ominaisuutta voidaan kuitenkin soveltaa myös matriisin kertolaskuun ja funktion koostumukseen.

Kuten kommutatiiviset ominaisuusyhtälöt, assosiatiiviset ominaisuusyhtälöt eivät voi sisältää todellisten lukujen vähennyslaskuja. Otetaan esimerkiksi aritmeettinen tehtävä (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; Jos muutamme sulkujen ryhmittelyä, meillä on 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, mikä muuttaa yhtälön lopputulosta.

Voimme kertoa assosiatiivisen ja kommutatiivisen ominaisuuden välisen eron esittämällä kysymyksen: ”Muutammeko järjestystä? vai muutammeko elementtien ryhmittelyä? " Jos elementtejä järjestetään uudelleen, kommutatiivinen ominaisuus sovelletaan. Jos elementit vain ryhmitellään uudelleen, sovelletaan assosiatiivista ominaisuutta.

Huomaa kuitenkin, että pelkkä sulkujen läsnäolo ei välttämättä tarkoita, että assosiatiivista ominaisuutta sovelletaan. Esimerkiksi:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Tämä yhtälö on esimerkki reaalilukujen lisäämisen kommutatiivisesta ominaisuudesta. Jos kuitenkin kiinnitämme huomiota yhtälöön, näemme, että vain elementtien järjestys on muuttunut, ei ryhmittelyä. Jotta assosiatiivista ominaisuutta voitaisiin soveltaa, meidän on järjestettävä uudelleen myös elementtien ryhmittely:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3