Yksi tapa laskea a: n keskiarvo ja varianssi todennäköisyysjakauma on löytää odotetut arvot satunnaismuuttujista X ja X2. Käytämme merkintää E(X) ja E(X2) tarkoittamaan näitä odotettuja arvoja. Yleensä on vaikea laskea E(X) ja E(X2) suoraan. Tämän vaikeuden kiertämiseksi käytämme kehittyneempää matemaattista teoriaa ja laskentaa. Lopputulos on jotain, mikä helpottaa laskelmaamme.
Tämän ongelman strategia on määritellä uusi funktio, uusi muuttuja T jota kutsutaan hetkeä tuottavaksi funktioksi. Tämän toiminnon avulla voimme laskea hetkiä yksinkertaisesti ottamalla johdannaisia.
oletukset
Ennen kuin määrittelemme hetkenmuodostusfunktion, aloitamme asettamalla vaihe merkinnöillä ja määritelmillä. Annoimme X olla a diskreetti satunnaismuuttuja. Tällä satunnaismuuttujalla on todennäköisyysmassofunktio f(x). Näytetila, jonka kanssa työskentelemme, merkitään S.
Sen sijaan, että laskettaisiin odotettu arvo X, haluamme laskea eksponentiaalisen funktion odotetun arvon, joka liittyy X. Jos on positiivista
oikea numeroR sellainen, että E(etX) on olemassa ja on rajallinen kaikille T välillä [-R, R], sitten voimme määritellä hetken muodostavan funktion X.Määritelmä
Momentin tuottava funktio on yllä olevan eksponentiaalisen funktion odotettu arvo. Toisin sanoen, sanomme, että hetkeä luova funktio X on antanut:
M(T) = E(etX)
Tämä odotettu arvo on kaava Σ eTXf (x), jossa summaus otetaan kokonaan x että esimerkkitilaS. Tämä voi olla äärellinen tai ääretön summa käytetystä näytetilasta riippuen.
ominaisuudet
Hetkenmuodostustoiminnolla on monia ominaisuuksia, jotka liittyvät toisiin aiheisiin todennäköisyys- ja matemaattisissa tilastoissa. Joitakin sen tärkeimmistä ominaisuuksista ovat:
- Kerroin etB on todennäköisyys, että X = b.
- Hetkenmuodostustoiminnoilla on ainutlaatuisuusominaisuus. Jos momenttien muodostavat funktiot kahdelle satunnaismuuttujalle vastaavat toisiaan, todennäköisyysmassifunktioiden on oltava samat. Toisin sanoen, satunnaismuuttujat kuvaavat samaa todennäköisyysjakaumaa.
- Hetkenmuodostusfunktioita voidaan käyttää laskettaessa momentteja X.
Momenttien laskeminen
Yllä olevan luettelon viimeinen kohta selittää hetkeä tuottavia toimintoja ja niiden hyödyllisyyden. Jotkut edistyneet matematiikat sanovat, että määritellyissä olosuhteissa johdannainen funktion missä tahansa järjestyksessä M (T) olemassa, kun T = 0. Lisäksi tässä tapauksessa voimme muuttaa summaamisen ja eriyttämisen järjestystä suhteessa T seuraavien kaavojen saamiseksi (kaikki yhteenlasketut arvot ovat x näytetilassa S):
- M’(T) = Σ XETXf (x)
- M’’(T) = Σ x2eTXf (x)
- M’’’(T) = Σ x3eTXf (x)
- M(N)’(T) = Σ xneTXf (x)
Jos asetamme T = 0 yllä olevissa kaavoissa, sitten eTX termi tulee e0 = 1. Siten saamme kaavat satunnaismuuttujan hetkille X:
- M’(0) = E(X)
- M’’(0) = E(X2)
- M’’’(0) = E(X3)
- M(n)(0) = E(Xn)
Tämä tarkoittaa, että jos momentinmuodostusfunktio on olemassa tietylle satunnaismuuttujalle, niin voimme löytää sen keskiarvon ja varianssin momentinmuodostusfunktion johdannaisissa. Keskiarvo on M'(0), ja varianssi on M’’(0) – [M’(0)]2.
Yhteenveto
Yhteenvetona, jouduimme kahlaamaan melko tehokkaaseen matematiikkaan, joten jotkut asiat hoidettiin. Vaikka joudumme käyttämään laskentaa yllä, matemaattinen työmme on viime kädessä tyypillisesti helpompaa kuin laskemalla momentit suoraan määritelmästä.