Kuinka käyttää "jos ja vain jos" matematiikassa

Kun luet tilastoja ja matematiikkaa, yksi säännöllisesti esiintyvä lause on "jos ja vain jos". Tämä lause esiintyy erityisesti matemaattisten lauseiden tai todisteiden lauseissa. Mutta mitä tarkalleen ottaen tämä lausunto tarkoittaa?

Ymmärtääksemme ”vain ja vain jos”, meidän on ensin tiedettävä, mitä ehdollisella lausunnolla tarkoitetaan. Ehdollinen lause on sellainen, joka muodostetaan kahdesta muusta lauseesta, joita merkitsemme P: llä ja Q: lla. Ehdollisen lausunnon muodostamiseksi voisimme sanoa ”jos P, sitten Q.”

Seuraavat ovat esimerkkejä tällaisesta lausunnosta:

• Jos ulkona sataa, otan sateenvarjon mukaani kävelylleni.
• Jos opiskelet kovasti, ansaitset A.
• Jos n on sitten jaollinen 4: llä n on jaollinen 2: lla.

Kolme muuta lausuntoa liittyy mihin tahansa ehdolliseen lausuntoon. Näitä kutsutaan käänteinen, käänteinen ja kontrapositiivinen. Muodostamme nämä lausunnot muuttamalla P: n ja Q: n järjestystä alkuperäisestä ehdollisesta ja lisäämällä sanan “ei” käänteiselle ja vasta-aiheiselle.

Meidän on harkittava tässä vain päinvastoin. Tämä lausunto saadaan alkuperäisestä sanomalla "jos Q ​​sitten P." Oletetaan, että aloitamme ehdolla “jos sataa ulkopuolella, niin minä ota sateenvarjo mukaani kävelylleni. ” Tämän lausunnon vastakkaisuus on ”jos otan sateenvarjon mukaani kävelylleni, niin sataa ulkopuolella."

Meidän on harkittava vain tätä esimerkkiä ymmärtääksemme, että alkuperäinen ehdollisuus ei ole loogisesti sama kuin sen päinvastainen. Näiden kahden lausumamuodon sekavuus tunnetaan nimellä käänteinen virhe. Voidaan ottaa sateenvarjo kävelylle, vaikka ulkosata ei saisikaan.

Toisena esimerkkinä pidämme ehdollista "Jos luku on jaollinen neljällä, se on jaollinen kahdella". Tämä väite on selvästi totta. Tämän lausunnon käänteinen teksti "Jos luku on jaollinen kahdella, niin se on jaettavissa neljällä", on virheellinen. Meidän on tarkasteltava vain useita, kuten 6. Vaikka 2 jakaa tämän luvun, 4 ei. Vaikka alkuperäinen lausunto on totta, sen vastakohta ei ole.

Tämä johtaa meidät kaksikielisyyteen, joka tunnetaan myös "jos ja vain jos" -lauseena. Tietyissä ehdollisissa lauseissa on myös totta. Tässä tapauksessa voimme muodostaa niin sanotun kaksitahoisen lauseen. Kaksikielisellä lausunnolla on seuraava muoto:

"Jos P sitten Q ja jos Q ​​sitten P."

Tästä lähtien rakentaminen on hieman hankala, etenkin kun P ja Q ovat omat loogiset lauseensa, yksinkertaistamme kaksikielisyyden lausetta lauseella "jos ja vain jos." Sen sijaan, että sanomme "jos P sitten Q, ja jos Q ​​sitten P", sanomme sen sijaan "P jos ja vain jos Q". Tämä rakenne eliminoi joitain irtisanomisia.

Esimerkiksi lauseesta "jos ja vain jos", joka sisältää tilastotietoja, katso vain tosiasia, joka koskee otoksen keskihajontaa. Tietojoukon näytteen keskihajonta on yhtä suuri kuin nolla jos ja vain jos kaikki data-arvot ovat identtisiä.

Hajotamme tämän kaksikielisyyden lausunnon ehdolliseksi ja sen päinvastaiseksi. Silloin näemme, että tämä lausunto tarkoittaa molempia seuraavista:

• Jos keskihajonta on nolla, niin kaikki data-arvot ovat identtisiä.
• Jos kaikki data-arvot ovat identtisiä, niin standardipoikkeama on nolla.

Jos yritämme todistaa kaksikielisyyden, päädymme suurimmaksi osaksi jakamaan sen. Tämä tekee todisteestamme kaksi osaa. Yksi osa, jonka todistamme, on ”jos P, niin Q.” Toinen osa todistusaineistoa, jota tarvitsemme, on ”jos Q ​​sitten P.”

Kaksikieliset lauseet liittyvät ehtoihin, jotka ovat sekä tarpeellisia että riittäviä. Mieti väitettä “jos tänään on pääsiäinen, sitten huomenna on maanantai. ” Tänään pääsiäisenä riittää, että huomenna on maanantai, mutta se ei ole välttämätöntä. Tänään voisi olla mikä tahansa muu sunnuntai kuin pääsiäinen, ja huomenna olisi silti maanantai.

Lausetta ”jos ja vain jos” käytetään matemaattisessa kirjoituksessa niin yleisesti, että sillä on oma lyhenne. Joskus ilmauksen ”jos ja vain jos” lausuman kaksikielisyys lyhennetään yksinkertaisesti ”iff”. Siten lauseesta "P jos ja vain jos Q" tulee "P iff Q."