Yksi käyttö chi-neliöjakauma on hypoteesitesteillä moniarvoisille kokeille. Katso kuinka tämä hypoteesitesti toimii, tutkimme seuraavia kahta esimerkkiä. Molemmat esimerkit toimivat samojen vaiheiden läpi:
- Muodosta nolla- ja vaihtoehtoiset hypoteesit
- Laske testitilastot
- Etsi kriittinen arvo
- Tehdään päätös hylätä vai hylätäkö hylätyn hypoteesimme.
Esimerkki 1: Reilu kolikko
Ensimmäisenä esimerkkinä haluamme tarkastella kolikkoa. Reilulla kolikolla on yhtä suuri todennäköisyys, että 1/2 tulee esiin pään tai hännän kohdalta. Heitämme kolikon 1000 kertaa ja tallennamme yhteensä 580 pään ja 420 pyrstön tulokset. Haluamme testata hypoteesin 95-prosenttisella luotettavuustasolla, että kääntämämme kolikko on oikeudenmukainen. Muodollisemmin nolla hypoteesiH0 on, että kolikko on oikeudenmukainen. Koska verrataan kolikon heittämisen tulosten havaittuja taajuuksia idealisoidun reilun kolikon odotettuihin taajuuksiin, tulisi käyttää chi-neliötestiä.
Laske Chi-Square-tilastot
Aloitamme laskemalla chi-neliötilastot tälle skenaariolle. Tapahtumia on kaksi, päät ja hännät. Pääiden havaittu taajuus on
f1 = 580 odotetulla taajuudella e1 = 50% x 1000 = 500. Häntäten havaittu taajuus on f2 = 420 odotetulla taajuudella e1 = 500.Käytämme nyt kaavaa chi-neliötilastoihin ja näemme sen χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Etsi kriittinen arvo
Seuraavaksi meidän on löydettävä kriittinen arvo oikealle chi-neliöjakautumiselle. Koska kolikolla on kaksi lopputulosta, on otettava huomioon kaksi luokkaa. Lukumäärä vapauden asteet on yksi vähemmän kuin luokkien lukumäärä: 2 - 1 = 1. Käytämme chi-neliöjakaumaa tähän lukumäärään vapausasteita ja näemme sen χ20.95=3.841.
Hylkää vai hylkääkö?
Lopuksi vertaamme laskettua ki-neliötilastoa taulukon kriittiseen arvoon. Koska 25.6> 3.841, hylkäämme nollahypoteesin, jonka mukaan kyse on oikeudenmukaisesta kolikosta.
Esimerkki 2: Reilu kuolema
Oikealla suulakkeella on yhtä suuri todennäköisyys 1/6 yhden, kahden, kolmen, neljän, viiden tai kuuden valssaamisesta. Vieritämme suulaketta 600 kertaa ja huomaa, että vieritämme yhden 106 kertaa, kaksi 90 kertaa, kolme 98 kertaa, neljä 102 kertaa, viisi 100 kertaa ja kuusi 104 kertaa. Haluamme testata hypoteesin 95-prosenttisella luotettavuustasolla, että meillä on oikeudenmukainen kuolema.
Laske Chi-Square-tilastot
Tapahtumia on kuusi, joista kunkin odotetaan esiintyvän 1/6 x 600 = 100. Havaitut taajuudet ovat f1 = 106, f2 = 90, f3 = 98, f4 = 102, f5 = 100, f6 = 104,
Käytämme nyt kaavaa chi-neliötilastoihin ja näemme sen χ2 = (f1 - e1 )2/e1 + (f2 - e2 )2/e2+ (f3 - e3 )2/e3+(f4 - e4 )2/e4+(f5 - e5 )2/e5+(f6 - e6 )2/e6 = 1.6.
Etsi kriittinen arvo
Seuraavaksi meidän on löydettävä kriittinen arvo oikealle chi-neliöjakautumiselle. Koska kuolemaan on olemassa kuusi luokkaa tuloksia, vapausasteiden lukumäärä on yksi vähemmän kuin tämä: 6 - 1 = 5. Käytämme chi-neliöjakaumaa viidellä vapausasteella ja näemme sen χ20.95=11.071.
Hylkää vai hylkääkö?
Lopuksi vertaamme laskettua ki-neliötilastoa taulukon kriittiseen arvoon. Koska laskettu ki-neliötilasto on 1,6, on pienempi kuin kriittinen arvo 11,071, me ei hylätä nolla hypoteesi.