Monopoly on lautapeli, jossa pelaajat saavat kapitalismin toimintaan. Pelaajat ostavat ja myy kiinteistöjä ja veloittavat vuokransa toisiltaan. Vaikka pelistä löytyy myös sosiaalisia ja strategisia osia, pelaajat liikuttavat kappaleitaan pöydän ympäri pyörittämällä kahta vakiona olevaa kuusipuolista noppaa. Koska tämä hallitsee pelaajien liikkumista, peliin liittyy myös todennäköisyysnäkökohta. Kun tiedät vain muutaman tosiasian, voimme laskea, kuinka todennäköistä on laskeutua tietyille tiloille pelin alussa kahden ensimmäisen käännöksen aikana.
Noppa
Jokaisella vuorolla pelaaja heittää kaksi noppaa ja siirtää sitten kappaleensa, jossa on paljon väliä pöydällä. Joten on hyödyllistä tarkistaa todennäköisyydet kahden noppaa liikkuessa. Yhteenvetona voidaan todeta, että seuraavat summat ovat mahdollisia:
- Kahden summan todennäköisyys on 1/36.
- Kolmen summan todennäköisyys on 2/36.
- Neljän summan todennäköisyys on 3/36.
- Viiden summan todennäköisyys on 4/36.
- Kuuden summan todennäköisyys on 5/36.
- Seitsemän summan todennäköisyys on 6/36.
- Kahdeksan summan todennäköisyys on 5/36.
- Yhdeksän summan todennäköisyys on 4/36.
- Kymmenen summan todennäköisyys on 3/36.
- Yhdentoista summalla on todennäköisyys 2/36.
- Kahdentoista summan todennäköisyys on 1/36.
Nämä todennäköisyydet ovat erittäin tärkeitä jatkaessamme.
Monopoly-pelitaulu
Meidän on myös otettava huomioon Monopoly-pelitaulu. Pelipöydän ympärillä on yhteensä 40 tilaa, joista 28 on ostettavissa kiinteistöistä, raideteista tai apuohjelmista. Kuuteen tilaan sisältyy kortin piirtäminen Chance- tai Community Chest -paaluista. Kolme tilaa ovat vapaita tiloja, joissa mitään ei tapahdu. Kaksi tilaa, joihin sisältyy verojen maksaminen: joko tulo- tai luksusvero. Yksi tila lähettää pelaajan vankilaan.
Tarkastellaan vain Monopoly-pelin kahta ensimmäistä käännöstä. Näiden käännösten aikana kaikkein kauimmin pääsimme pöydän ympärille on vierittää kaksitoista kahdesti ja siirtää yhteensä 24 tilaa. Joten tutkimme vain taulun ensimmäiset 24 tilaa. Jotta nämä tilat ovat:
- Välimeren avenue
- Yhteisön rinta
- Baltic Avenue
- Tulovero
- Rautatien lukeminen
- Oriental Avenue
- mahdollisuus
- Vermont Avenue
- Connecticutin vero
- Vain vierailevat vankilassa
- St. James Place
- Electric Company
- State Avenue
- Virginia Avenue
- Pennsylvanian rautatie
- St. James Place
- Yhteisön rinta
- Tennessee Avenue
- New York Avenue
- Ilmainen pysäköinti
- Kentucky Avenue
- mahdollisuus
- Indiana Avenue
- Illinois Avenue
Ensimmäinen käännös
Ensimmäinen käännös on suhteellisen suoraviivainen. Koska meillä on todennäköisyyksiä kahden noppaa kiertämiseen, sovitamme nämä yksinkertaisesti sopiviin neliöihin. Toinen tila on esimerkiksi yhteisön rinta-aukio ja on kahden prosentin lasku todennäköisyys 1/36. Siten on todennäköisyys, että purkautuminen yhteisön rintakentälle on 1/36 ensimmäisellä kierroksella.
Alla on todennäköisyys laskeutua seuraaviin tiloihin ensimmäisellä käännöksellä:
- Yhteisön rinta - 1/36
- Baltic Avenue - 2/36
- Tulovero - 3/36
- Reading Railroad - 4/36
- Oriental Avenue - 5/36
- Mahdollisuus - 6/36
- Vermont Avenue - 5/36
- Connecticutin vero - 4/36
- Vain luona vankilassa - 3/36
- St. James Place - 2/36
- Electric Company - 1/36
Toinen käännös
Toisen käännöksen todennäköisyyden laskeminen on hieman vaikeampaa. Voimme vierittää yhteensä kaksi molemmilla kierroksilla ja mennä vähintään neljä välilyöntiä tai yhteensä 12 välilyöntiä molemmilla kierroksilla ja mennä korkeintaan 24 välilyöntiä. Mihin tahansa välilyönteihin välillä 4–24 pääsee myös. Mutta nämä voidaan tehdä eri tavoin. Voisimme esimerkiksi siirtää yhteensä seitsemän tilaa siirtämällä mitä tahansa seuraavista yhdistelmistä:
- Kaksi välilyöntiä ensimmäisessä käännöksessä ja viisi välilyöntiä toisessa käännöksessä
- Kolme välilyöntiä ensimmäisessä käännöksessä ja neljä välilyöntiä toisessa käännöksessä
- Neljä välilyöntiä ensimmäisessä käännöksessä ja kolme välilyöntiä toisessa käännöksessä
- Viisi välilyöntiä ensimmäisessä käännöksessä ja kaksi välilyöntiä toisessa käännöksessä
Meidän on otettava kaikki nämä mahdollisuudet huomioon todennäköisyyksiä laskettaessa. Jokaisen käännöksen heitot ovat riippumattomia seuraavan käännöksen heitosta. Joten meidän ei tarvitse murehtia ehdollinen todennäköisyys, mutta on vain kerrottava kaikki todennäköisyydet:
- Kahden ja sitten viiden rullan todennäköisyys on (1/36) x (4/36) = 4/1296.
- Kolmen ja sitten neljän vierimisen todennäköisyys on (2/36) x (3/36) = 6/1296.
- Neljän ja sitten kolmen vierimisen todennäköisyys on (3/36) x (2/36) = 6/1296.
- Viiden ja sitten kahden vierintätodennäköisyys on (4/36) x (1/36) = 4/1296.
Keskinäisesti poissulkeva lisäyssääntö
Kaksi käännöstä koskevat muut todennäköisyydet lasketaan samalla tavalla. Jokaisessa tapauksessa meidän on vain selvitettävä kaikki mahdolliset tavat saada kokonaissumma, joka vastaa pelipöydän neliötä. Alla on todennäköisyys (pyöristettynä lähimpään prosenttiosaan) laskeutumisesta seuraaviin tiloihin ensimmäisellä käännöksellä:
- Tulovero - 0,08%
- Lukeva rautatie - 0,31%
- Oriental Avenue - 0,77%
- Mahdollisuus - 1.54%
- Vermont Avenue - 2,70%
- Connecticutin vero - 4,32%
- Vain vieraileva vankila - 6.17%
- St. James Place - 8,02%
- Electric Company - 9,65%
- State Avenue - 10,80%
- Virginia Avenue - 11,27%
- Pennsylvanian rautatie - 10.80%
- St. James Place - 9,65%
- Yhteisön rintakehä - 8,02%
- Tennessee Avenue 6,17%
- New York Avenue 4,32%
- Ilmainen pysäköinti - 2.70%
- Kentucky Avenue - 1,54%
- Mahdollisuus - 0.77%
- Indiana Avenue - 0,31%
- Illinois Avenue - 0,08%
Enemmän kuin kolme käännöstä
Lisää käännöksiä varten tilanne tulee entistä vaikeammaksi. Yksi syy on, että pelisäännöissä, jos vierimme kaksinkertaistuen kolme kertaa peräkkäin, menemme vankilaan. Tämä sääntö vaikuttaa todennäköisyyksiimme tavoilla, joita meidän ei tarvinnut harkita aiemmin. Tämän säännön lisäksi mahdollisuuksien ja yhteisön rintakortteista löytyy vaikutuksia, joita emme harkitse. Jotkut näistä korteista ohjaavat pelaajia hyppäämään tilojen yli ja menemään suoraan tietyille tiloille.
Lisääntyneestä laskennallisesta monimutkaisuudesta johtuen on helpompaa laskea todennäköisyydet kuin vain muutama käännös Monte Carlo -menetelmiä käyttämällä. Tietokoneet voivat simuloida satoja tuhansia, ellei miljoonia Monopoly-pelejä, ja laskeutumisen todennäköisyys jokaiselle alueelle voidaan laskea empiirisesti näistä peleistä.