Yhden rullan Yahtzeessa olevan pienen suoran todennäköisyys

Yahtzee on noppapeli, joka käyttää viittä tavanomaista kuusipuolista noppaa. Jokaisella vuorolla pelaajille annetaan kolme rullaa saadakseen useita erilaisia ​​tavoitteita. Jokaisen kierroksen jälkeen pelaaja voi päättää, mitkä noppia (jos sellaisia ​​on) säilytetään ja mitkä uusitaan. Tavoitteisiin sisältyy erilaisia ​​erityyppisiä yhdistelmiä, joista monet on otettu pokerista. Jokainen erityyppinen yhdistelmä on eri määrän pisteiden arvoinen.

Kaksi tyyppiä yhdistelmiä, jotka pelaajien täytyy kääntää, kutsutaan suorat: pieni suora ja suuri suora. Kuten pokerisuoratkin, nämä yhdistelmät koostuvat peräkkäisistä noppaa. Pienissä suorissa käytetään viittä noppaa neljä ja suuret suorat käytä kaikkia viittä noppaa. Nopan liikkuvuuden satunnaisuuden takia todennäköisyyttä voidaan käyttää analysoimaan kuinka todennäköistä on pienen suoran vieriminen yhdessä rullassa.

Oletetaan, että käytetyt noppaa ovat oikeudenmukaisia ​​ja toisistaan ​​riippumattomia. Siten on yhtenäinen näytetila, joka koostuu kaikista mahdollisista viiden noppaan rullasta. Siitä huolimatta

Koska työskentelemme kanssa yhtenäinenesimerkkitila, todennäköisyyden laskelmasta tulee laskelma parista laskentaongelmasta. Pienen suoran todennäköisyys on pienten suorien vierimistapojen lukumäärä jaettuna näytetilan tulosten lukumäärällä.

Tulosten lukumäärä näytetilassa on erittäin helppo laskea. Vierämme viittä noppaa ja jokaisella nopalla voi olla yksi kuudesta erilaisesta tuloksesta. Kertolaskuperiaatteen perussovellus kertoo meille, että näytetilassa on 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 tulosta. Tämä luku on niiden fraktioiden nimittäjä, joita käytämme todennäköisyydellemme.

Seuraavaksi meidän on tiedettävä kuinka monella tapaa on pienen suoran vieriminen. Tämä on vaikeampaa kuin laskea näytetilan koko. Aloitamme laskemalla kuinka monta suoraa on mahdollista.

Pieni suora on helpompi rullata kuin suuri suora, kuitenkin on vaikeampaa laskea kuinka monta tapaa tämän tyyppinen suora rullata. Pieni suora koostuu tarkalleen neljästä peräkkäisestä numerosta. Koska suulakkeessa on kuusi erilaista pintaa, on olemassa kolme mahdollista pientä suoraa: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} ja {3, 4, 5, 6}. Vaikeuksia syntyy harkittaessa mitä viidennelle kuolleelle tapahtuu. Kummassakin näistä tapauksista viidennen suulakkeen on oltava luku, joka ei muodosta suurta suoraa. Esimerkiksi, jos ensimmäiset neljä noppaa olivat 1, 2, 3 ja 4, viides kuolema voi olla mikä tahansa muu kuin 5. Jos viides kuolema olisi 5, niin meillä olisi iso suora eikä pieni suora.

Tämä tarkoittaa, että on olemassa viisi mahdollista rullaa, jotka antavat pienelle suoralle {1, 2, 3, 4} viisi mahdollista telat, jotka antavat pienille suorille {3, 4, 5, 6}, ja neljä mahdollista telaa, jotka antavat pienille suorille {2, 3, 4, 5}. Tämä viimeinen tapaus on erilainen, koska 1: n tai 6: n vieritys viidennelle suulakkeelle muuttaa {2, 3, 4, 5} suureksi suoraksi. Tämä tarkoittaa, että on 14 eri tapaa, joilla viisi noppaa voi antaa meille pienen suoran.

Nyt määrittelemme eri määrät tapoja kiertää tiettyä noppaa, jotka antavat meille suoran. Koska meidän on tiedettävä vain kuinka monella tapaa on tehdä tämä, voimme käyttää joitain peruslaskentatekniikoita.

Niistä 14 erilaisesta tavasta saada pieniä suoria, vain kaksi näistä {1,2,3,4,6} ja {1,3,4,5,6} on joukot, joilla on erilliset elementit. Niitä on 5! = 120 tapaa rullata jokaista yhteensä 2 x 5! = 240 pientä suoraa.

Muut 12 tapaa saada pieni suora ovat teknisesti multisetit, koska ne kaikki sisältävät toistetun elementin. Yhdelle tietylle multisiltille, kuten [1,1,2,3,4], lasketaan erilaisten tapojen lukumäärä tämän vierimiseksi. Ajattele noppaa viidessä paikassa peräkkäin:

• On olemassa C (5,2) = 10 tapaa sijoittaa kaksi toistuvaa elementtiä viiden noppaa joukkoon.
• Niitä on 3! = 6 tapaa järjestää kolme erillistä elementtiä.

Kertolaskuperiaatteella on 6 x 10 = 60 erilaista tapaa kääntää noppaa 1,1,2,3,4 yhdellä telalla.

On olemassa 60 tapaa rullata yksi tällainen pieni suoraan tämän viidennen suulakkeen kanssa. Koska 12 multisettiä antaa erilaisen viiden noppaa, on 60 x 12 = 720 tapaa rullata pieni suora, jossa kaksi noppaa vastaavat.

Yhteensä on 2 x 5! + 12 x 60 = 960 tapaa rullata pieni suora.

Nyt pienen suoran vierimisen todennäköisyys on yksinkertainen jakolaskelma. Koska on olemassa 960 erilaista tapaa rullata pieni suora yhdellä telalla, ja siellä on 7776 rullaa viisi noppaa mahdollista, pienen suoran vierittämisen todennäköisyys on 960/7776, joka on lähellä 1/8 ja 12.3%.

Tietenkin on todennäköisempää kuin ei, että ensimmäinen tela ei ole suora. Jos näin on, niin meillä on kaksi muuta rullaa, jotka tekevät pienestä suorasta paljon todennäköisemmän. Tämän todennäköisyys on paljon monimutkaisempi määrittää kaikkien mahdollisten tilanteiden vuoksi, jotka olisi otettava huomioon.