Kuinka käyttää täydentämissääntöä tilastoissa

Tilastossa komplementtisääntö on lause, joka tarjoaa yhteyden todennäköisyyden välillä tapahtuma ja tapahtuman täydentämisen todennäköisyys siten, että jos tiedämme yhden näistä todennäköisyyksistä, tiedämme automaattisesti toisen.

Komplementaarisääntö on hyödyllinen laskettaessa tiettyjä todennäköisyyksiä. Monta kertaa tapahtuman todennäköisyys on sotkuinen tai monimutkainen laskea, kun taas sen komplementin todennäköisyys on paljon yksinkertaisempi.

Ennen kuin näemme, kuinka komplementtisääntöä käytetään, määrittelemme tarkalleen, mikä tämä sääntö on. Aloitamme pienellä merkinnällä. Tapahtuman täydennys , joka koostuu kaikista esimerkkitilaS jotka eivät ole sarjan elementtejä , on merkitty C.

Komplementaarisääntö esitetään "tapahtuman todennäköisyyden ja sen komplementin todennäköisyyden summana yhtä kuin 1" seuraavalla yhtälöllä ilmaistuna:

P (^C) = 1 - P ()

Seuraava esimerkki näyttää kuinka täydentämissääntöä käytetään. Tulee ilmeiseksi, että tämä lause nopeuttaa ja yksinkertaistaa todennäköisyyslaskelmia.

Oletetaan, että kääntämme kahdeksan reilua kolikkoa - mikä on todennäköisyys, että meillä on ainakin yksi pää osoittamassa? Yksi tapa selvittää tämä on laskea seuraavat todennäköisyydet. Kummankin nimittäjä selitetään sillä, että niitä on 2⁸ = 256 tulosta, jokainen niistä yhtä todennäköinen. Kaikki seuraavat meille kaavaa yhdistelmät:

• Todennäköisesti yhden pään kääntö on C (8,1) / 256 = 8/256.
• Todennäköisyys, että täsmälleen kaksi päätä käännetään, on C (8,2) / 256 = 28/256.
• Tarkkuus kolmen pään kääntämisestä on C (8,3) / 256 = 56/256.
• Todennäköisyys, että täsmälleen neljä päätä käännetään, on C (8,4) / 256 = 70/256.
• Tarkalleen viiden pään kääntö on todennäköisyys C (8,5) / 256 = 56/256.
• Tarkalleen kuuden pään kääntö on todennäköisyys C (8,6) / 256 = 28/256.
• Tarkalleen seitsemän pään kääntö on todennäköisyys C (8,7) / 256 = 8/256.
• Tarkalleen kahdeksan pään kääntö on todennäköisyys C (8,8) / 256 = 1/256.

Nämä ovat toisiaan poissulkevat tapahtumia, joten summaamme todennäköisyydet yhdessä käyttämällä yhtä sopivaa lisäyssääntö. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että meillä on ainakin yksi pää, on 255/256.

Laskemme nyt saman todennäköisyyden käyttämällä komplementtisääntöä. Tapahtuman ”Me käännämme ainakin yhtä päätä” täydennys on tapahtuma “Ei ole päätä.” Tämä tapahtuu yhdellä tavalla, mikä antaa meille todennäköisyyden 1/256. Käytämme komplementtisääntöä ja löydämme, että haluttu todennäköisyys on yksi miinus yksi 256: sta, joka on yhtä suuri kuin 255/256.

Tämä esimerkki osoittaa paitsi komplementaarisääntöjen hyödyllisyyden myös voiman. Vaikka alkuperäisessä laskelmassamme ei ole mitään vikaa, se oli melko mukana ja vaati useita vaiheita. Sitä vastoin, kun käytimme komplementtisääntöä tähän ongelmaan, ei ollut niin monta vaihetta, missä laskelmat voisivat mennä pieleen.