Ehdollinen todennäköisyys: Merkintä ja esimerkit

Suora esimerkki ehdollinen todennäköisyys on todennäköisyys, että tavallisesta korttipakasta vedetty kortti on kuningas. 52 kortista on yhteensä neljä kuninkaata, joten todennäköisyys on yksinkertaisesti 4/52. Tähän laskelmaan liittyy seuraava kysymys: "Mikä on todennäköisyys, että vedämme kuninkaan, kun otetaan huomioon olemme jo vetaneet kortin kannelta ja se on ässä? "Tässä tarkastellaan kannen sisältöä kortit. Kuninkaita on edelleen neljä, mutta nyt kannella on vain 51 korttia. Kuninkaan piirtämisen todennäköisyys, koska ässä on jo vedetty, on 4/51.

Ehdollinen todennäköisyys on määritelty tapahtuman todennäköisyydeksi, koska toinen tapahtuma on tapahtunut. Jos nimeämme nämä tapahtumat ja B, sitten voidaan puhua todennäköisyydestä tietty B. Voisimme viitata myös todennäköisyyteen riippuvainen jostain B.

Ehdollisen todennäköisyyden merkintä vaihtelee oppikirjasta toiseen. Kaikissa merkinnöissä merkki on, että todennäköisyys, johon viittaamme, riippuu toisesta tapahtumasta. Yksi yleisimmistä merkinnöistä todennäköisyydelle

Ehdolliselle todennäköisyydelle on kaava, joka yhdistää tämän todennäköisyyteen ja B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Pohjimmiltaan tämä kaava sanoo, että tapahtuman ehdollisen todennäköisyyden laskemiseksi annettu tapahtuma B, muutamme näytetilamme koostumaan vain joukosta B. Tätä tehdessään emme ota huomioon kaikkia tapahtumia , mutta vain osa joka sisältyy myös B. Juuri kuvailemamme joukko voidaan tunnistaa tutummin sanoin Risteys of ja B.

Voimme käyttää algebra ilmaista yllä oleva kaava eri tavalla:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Katsomme uudelleen esimerkin, jonka kanssa aloitimme näiden tietojen valossa. Haluamme tietää kuninkaan piirtämisen todennäköisyyden, koska ässä on jo vedetty. Näin ollen tapahtuma on se, että piirtämme kuninkaan. Tapahtuma B on, että piirtämme ässä.

Todennäköisyys, että molemmat tapahtumat tapahtuvat ja vedämme ässä ja sitten kuningas vastaa P (A ∩ B). Tämän todennäköisyyden arvo on 12/2652. Tapahtuman todennäköisyys B, että vedämme ässä, on 4/52. Siksi käytämme ehdollista todennäköisyyskaavaa ja katsomme, että kuninkaan piirtämisen todennäköisyys kuin ässä on annettu, on (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Toisena esimerkkinä tarkastelemme todennäköisyyskoetta missä rulla kaksi noppaa. Voimme kysyä seuraavaa kysymystä: "Mikä on todennäköisyys, että olemme viettäneet kolmen, kun otetaan huomioon, että olemme viettäneet vähemmän kuin kuusi?"

Täällä tapahtuma on, että olemme viettäneet kolme ja tapahtuma B on se, että olemme laskeneet vähemmän kuin kuusi summaa. Kaksi noppaa voi kiertää kaikkiaan 36 tapaa. Näistä 36 tavasta voimme laskea vähemmän kuin kuusi summaa kymmenellä tavalla:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Joissakin tapauksissa ehdollisen todennäköisyyden annettu tapahtuma B on yhtä suuri kuin . Tässä tilanteessa sanomme, että tapahtumat ja B ovat riippumattomia toisistaan. Yllä olevasta kaavasta tulee:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

ja palautamme kaavan, jolla riippumattomille tapahtumille todennäköisyys molemmille ja B saadaan kertomalla kunkin tapahtuman todennäköisyys:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Kun kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia, tämä tarkoittaa, että yhdellä tapahtumalla ei ole vaikutusta toiseen. Yhden kolikon ja sitten toisen kääntäminen on esimerkki itsenäisistä tapahtumista. Yhdellä kolikolla ei ole vaikutusta toiseen.

Ole varovainen tunnistaessasi, mikä tapahtuma riippuu toisistaan. Yleisesti P (A | B) ei ole yhtä suuri kuin P (B | A). Se on todennäköisyys annettu tapahtuma B ei ole sama kuin B annettu tapahtuma .

Yllä olevassa esimerkissä näimme, että kun kierrät kaksi noppaa, kolmen rullan todennäköisyys, kun olemme vetäneet alle kuuden summan, oli 4/10. Toisaalta, mikä on todennäköisyys laskea alle kuusi summaa, kun olemme vetäneet kolme? Kolmen ja alle kuuden summan vierintätodennäköisyys on 4/36. Ainakin yhden kolmen vierimisen todennäköisyys on 11/36. Joten ehdollisuustodennäköisyys tässä tapauksessa on (4/36) / (11/36) = 4/11.