Momentin luontitoiminto binomijakaumaan

Satunnaismuuttujan keskiarvo ja varianssi X kanssa binomiaalinen todennäköisyysjakauma voi olla vaikea laskea suoraan. Vaikkakin voi olla selvää, mitä on tehtävä käytettäessä määritelmää odotettu arvo of X ja X², näiden vaiheiden todellinen suorittaminen on hankala algebran ja summaamisten jongleeraus. Vaihtoehtoinen tapa määrittää a: n keskiarvo ja varianssi binomijakauma on käyttää momentin tuottava toiminto varten X.

Aloita satunnaismuuttujalla X ja kuvaile todennäköisyysjakauma tarkemmin. Suorittaa n riippumattomia Bernoulli-kokeita, joista jokaisella on todennäköisyys menestyä p ja epäonnistumisen todennäköisyys 1 - p. Siten todennäköisyysmassofunktio on

f (x) = C(n, x)p^x(1 – p)^{n - x}

Tässä termi C(n, x) tarkoittaa joukkoa yhdistelmiä n elementit otettu x kerrallaan, ja x voi ottaa arvot 0, 1, 2, 3,. .., n.

Käytä tätä todennäköisyysmassofunktiota saadaksesi momentin muodostavan funktion X:

M(T) = Σ_{x = 0}ⁿe^TXC(n,x)>)p^x(1 – p)^{n - x}.

On selvää, että voit yhdistää termit eksponenttiin x:

M(T) = Σ_{x = 0}ⁿ (pe^T)^xC(n,x)>)(1 – p)^{n - x}.

Lisäksi binomikaavan avulla yllä oleva lauseke on yksinkertaisesti:

M(T) = [(1 – p) + pe^T]ⁿ.

Löytääksesi tarkoittaa ja varianssi, sinun on tiedettävä molemmat M'(0) ja M’’(0). Aloita laskemalla johdannaiset ja arvioi sitten ne jokaisella T = 0.

Näet, että momentinmuodostusfunktion ensimmäinen johdannainen on:

M’(T) = n(pe^T)[(1 – p) + pe^T]^{n - 1}.

Tästä voit laskea todennäköisyysjakauman keskiarvon. M(0) = n(pe⁰)[(1 – p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Tämä vastaa lauseketta, jonka saimme suoraan keskiarvon määritelmästä.

Varianssin laskeminen suoritetaan samalla tavalla. Ensin erota hetkenmuodostusfunktio uudelleen ja sitten arvioimme tätä johdannaista kohdassa T = 0. Täällä näet sen

M’’(T) = n(n - 1)(pe^T)²[(1 – p) + pe^T]^{n - 2} + n(pe^T)[(1 – p) + pe^T]^{n - 1}.

Tämän satunnaismuuttujan varianssin laskemiseksi sinun on löydettävä M’’(T). Täällä sinulla on M’’(0) = n(n - 1)p² +np. Varianssi σ² jakelustasi on

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Vaikka tämä menetelmä on jonkin verran mukana, se ei ole niin monimutkainen kuin keskiarvon ja varianssin laskeminen suoraan todennäköisyysmassofunktiosta.