Yahtzeen vierimisen todennäköisyys

Yahtzee on noppapeli, joka sisältää mahdollisuuden ja strategian yhdistelmän. Pelaaja aloittaa vuoronsa heittämällä viisi noppaa. Tämän rullan jälkeen pelaaja voi päättää rullata minkä tahansa määrän noppaa uudelleen. Jokaisella kierroksella on korkeintaan kolme rullaa. Näiden kolmen rullan jälkeen noppaa tulos syötetään tulostaululle. Tämä tuloslomake sisältää erilaisia ​​luokkia, kuten a täysi talo tai iso suora. Jokainen luokka on tyytyväinen noppien eri yhdistelmiin.

Vaikein täytettävä kategoria on Yahtzee. Yahtzee tapahtuu, kun pelaaja heittää viisi samaa numeroa. Kuinka epätodennäköistä on Yahtzee? Tämä on ongelma, joka on paljon monimutkaisempi kuin todennäköisyyksien löytäminen kaksi tai jopa kolme noppaa. Pääsyy on, että on olemassa monia tapoja saada viisi vastaavaa noppaa kolmen rullan aikana.

Voimme laskea Yahtzeen liikkumisen todennäköisyyden käyttämällä yhdistelmien yhdistelmäkaavaa ja jakamalla ongelma useisiin toisiaan poissulkevat tapauksissa.

Helpoin tapa harkita on saada Yahtzee heti ensimmäisellä rullalla. Katsomme ensin

Kaksi vierittämisen todennäköisyys on 1/6, ja kunkin suulakkeen tulos on riippumaton muusta. Siten viiden kaksosarjan vierintätodennäköisyys on (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Todennäköisyys, että viisi liikkuu jonkin muun numeron suhteen, on myös 1/7776. Koska muotissa on yhteensä kuusi erilaista lukua, kerrotaan yllä oleva todennäköisyys 6: lla.

Tämä tarkoittaa, että Yahtzeen todennäköisyys ensimmäisellä telalla on 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 prosenttia.

Jos vieritämme muuta kuin viisi sellaista ensimmäistä rullaa, joudumme kääntämään joitain noppia uudelleen yrittääksesi saada Yahtzeen. Oletetaan, että ensimmäisellä rullallamme on neljää tyyppiä. rullaaksemme yhden muotin, joka ei vastaa, ja sitten saadaan Yahtzee tähän toiseen telaan.

Todennäköisyys, että rullaa yhteensä viisi kaksoset tällä tavalla, on seuraava:

1. Ensimmäisellä telalla meillä on neljä kaksoset. Koska on olemassa todennäköisyys, että 1/6 rullaa kaksi ja 5/6 ei rullaa, kerrotaan (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Mikä tahansa viidestä noppaa rullattu voisi olla ei-kaksi. Käytämme yhdistelmäkaavaa C (5, 1) = 5: lle laskeaksesi kuinka monella tapaa voimme rullata neljä kaksoset ja jotain, joka ei ole kaksi.
3. Kertomme ja näemme, että todennäköisyys vieriä tarkalleen neljä kaksosta ensimmäisellä rullalla on 25/7776.
4. Toisella telalla meidän on laskettava yhden kahden rullan todennäköisyys. Tämä on 1/6. Siten kaksoisjahtien Yahtzeen valssaamisen todennäköisyys yllä olevalla tavalla on (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Minkä tahansa Yahtzeen vierimisen todennäköisyyden löytäminen tällä tavalla saadaan kertomalla yllä oleva todennäköisyys 6: lla, koska muotissa on kuusi eri numeroa. Tämä antaa todennäköisyyden 6 x 25/46656 = 0,32 prosenttia.

Mutta tämä ei ole ainoa tapa rullata Yahtzee kahdella rullalla. Kaikki seuraavat todennäköisyydet löytyvät suunnilleen samalla tavalla kuin yllä:

• Voisimme kiertää kolmea tyyppiä ja sitten kaksi noppaa, jotka vastaavat toisella rullamme. Tämän todennäköisyys on 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 prosenttia.
• Voimme vierittää sopivan parin, ja toisella rullamme kolme noppaa, jotka täsmäävät. Tämän todennäköisyys on 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 prosenttia.
• Voisimme pyörittää viittä erilaista noppaa, pelastaa yhden kuoleman ensimmäisestä rullastamme, sitten kiertää neljä noppaa, jotka vastaavat toisella rullalla. Tämän todennäköisyys on (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 prosenttia.

Edellä mainitut tapaukset ovat toisiaan poissulkevia. Tämä tarkoittaa, että laskettaessa Yahtzeen rullaus todennäköisyys kahdessa rullassa lisäämme yllä olevat todennäköisyydet yhteen ja meillä on noin 1,23 prosenttia.

Silti monimutkaisimman tilanteen suhteen tutkimme nyt tapausta, jossa käytämme kaikkia kolmea rullaamme Yahtzeen saamiseksi. Voisimme tehdä tämän monella tavalla ja meidän on otettava huomioon ne kaikki.

Näiden mahdollisuuksien todennäköisyydet lasketaan alla:

• Todennäköisyys, että rullataan neljää tyyppiä, ei mitään, viimeisen telan viimeisen muotin vastaavuus on 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 prosenttia.
• Todennäköisyys, että rullaa kolme tyyppiä, sitten ei mitään, sitten sovittaminen oikeaan pariin viimeisellä rullalla on 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 prosenttia.
• Todennäköisyys, että vieritetään paria, sitten ei mitään, sitten sovitaan oikean tyyppisillä kolmella telalla on 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216) ) = 0,21 prosenttia.
• Yhden suulakkeen vierintätodennäköisyys, niin ettei mikään vastaa tätä, sitten sovittaminen oikean tyyppisiin neljään kolmannella telalla on (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 prosenttia.
• Todennäköisyys liikkua kolmea tyyppiä, vastaa seuraavan rullan ylimääräistä suulaketta, jota seuraa kolmannen telan viidennen muotin vastaavuus on 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 prosenttia.
• Parin vierimisen todennäköisyys, sopivuus lisäpariin seuraavalle rullalle, jota seuraa sovitus kolmannen telan viides muotti on 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 prosenttia.
• Parin vierintätodennäköisyys, seuraavan rullan lisämuotin sovittaminen, jota seuraa sovittaminen kaksi viimeistä noppaa kolmannella telalla on 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 prosenttia.
• Todennäköisyys, että vieritetään jonkinlaista, toinen kuolee vastaamaan sitä toisella telalla, ja sitten sellainen kolmos kolmannella telalla on (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 prosenttia.
• Todennäköisyys, että vieritetään yhtä tyyppiä, kolmatta tyyppiä vastaamaan toista rullaa, jota seuraa ottelu kolmannella rullalla, on (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 prosenttia.
• Todennäköisyys, että vieritetään yhtä tyyppiä, paria, joka vastaa sitä toisella telalla, ja sitten toista paria, joka sopii yhteen kolmannella telalla, on (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 prosenttia.

Lisäämme kaikki yllä olevat todennäköisyydet yhteen määrittääksesi Yahtzeen kääntymisen todennäköisyyden kolmessa nopan rullassa. Tämä todennäköisyys on 3,43 prosenttia.

Yahtzeen todennäköisyys yhdellä telalla on 0,08 prosenttia, Yahtzeen todennäköisyys kahdella telalla on 1,23 prosenttia ja Yahtzeen todennäköisyys kolmella telalla on 3,43 prosenttia. Koska nämä kaikki ovat toisiaan poissulkevia, lisäämme todennäköisyydet yhteen. Tämä tarkoittaa, että Yahtzeen saamisen todennäköisyys tietyssä käänteessä on noin 4,74 prosenttia. Tämän näkökulmasta katsottuna, koska 1/21 on noin 4,74 prosenttia, pelkästään sattumanvaraisesti pelaajan pitäisi odottaa Yahtzeea kerran 21 kierrosta. Käytännössä voi kestää kauemmin, koska ensimmäinen pari voidaan hylätä vierittämällä jotain muuta, kuten a suoraan.