Eksponentiaaliset toiminnot kerro tarinoita räjähtävistä muutoksista. Kaksi tyyppistä eksponentiaalista funktiota ovat eksponentiaalinen kasvu ja eksponentiaalinen rappeutuminen. Neljä muuttujaa (prosenttimuutos, aika, määrä ajanjakson alussa ja määrä ajanjakson lopussa) pelaa roolia eksponentiaalisissa funktioissa. Löydä summa ajanjakson alussa eksponentiaalisella vaimennustoiminnolla.
Eksponentiaalinen hajoaminen
Eksponentiaalinen vaimeneminen on muutos, joka tapahtuu, kun alkuperäistä määrää pienennetään tasaisella nopeudella tietyn ajanjakson ajan.
Tässä on eksponentiaalinen rappeutumisfunktio:
y = a kappale (1-b)x
- y: Rajoituksen jälkeen jäljellä oleva lopullinen määrä tietyn ajanjakson ajan
- : Alkuperäinen summa
- x: Aika
- Rapistumiskerroin on (1-b)
- Muuttuja b on prosenttiosuus desimaalin muodon laskusta.
Alkuperäisen määrän löytämisen tarkoitus
Jos luet tätä artikkelia, olet todennäköisesti kunnianhimoinen. Kuuden vuoden kuluttua ehkä haluat jatkaa perustutkinto unelmayliopistossa. 120 000 dollarin hintamerkillä Dream University herättää taloudellisia yökatsoja. Unettomien öiden jälkeen sinä, äiti ja isä tapaatte rahoitussuunnittelijan. Vanhempiesi verinäytteet selviävät, kun suunnittelija paljastaa, että sijoitus, jonka kasvu on kahdeksan prosenttia, voi auttaa perhettäsi saavuttamaan 120 000 dollarin tavoitteen. Opiskele ahkerasti. Jos sinä ja vanhempasi sijoitat 75 620,36 dollaria tänään, Dream Universitystä tulee todellisuus eksponentiaalisen rappeutumisen ansiosta.
Miten ratkaista
Tämä toiminto kuvaa sijoituksen eksponentiaalista kasvua:
120,000 = (1 +.08)6
- 120 000: Lopullinen määrä jäljellä 6 vuoden kuluttua
- .08: Vuotuinen kasvuvauhti
- 6: Sijoituksen kasvuvuosien lukumäärä
- : Alkuperäinen summa, jonka perheesi sijoitti
Tasa-arvon symmetrisen ominaisuuden ansiosta 120 000 = (1 +.08)6 on sama kuin (1 +.08)6 = 120,000. Tasa-arvon symmetrinen ominaisuus toteaa, että jos 10 + 5 = 15, niin 15 = 10 + 5.
Jos haluat kirjoittaa yhtälön yhtälön oikealla puolella olevaan vakioon (120 000), tee niin.
(1 +.08)6 = 120,000
Myönnetään, että yhtälö ei näytä a: lta lineaarinen yhtälö (6 = 120 000 dollaria), mutta se on ratkaistavissa. Pysy siinä!
(1 +.08)6 = 120,000
Älä ratkaise tätä eksponentiaalista yhtälöä jakamalla 120 000 6: lla. Se on houkutteleva matematiikka ei-ei.
1. Käytä toimintajärjestystä yksinkertaistaaksesi
(1 +.08)6 = 120,000
(1.08)6 = 120 000 (sulu)
(1,586874323) = 120 000 (eksponentti)
2. Ratkaise jakava
(1.586874323) = 120,000
(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1 = 75,620.35523
= 75,620.35523
Alkuperäinen sijoitettava summa on noin 75 620,36 dollaria.
3. Jäätyminen: Et ole vielä valmis; Käytä operaatiojärjestystä tarkistaaksesi vastauksesi
120,000 = (1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Sulkumerkki)
120 000 = 75 620,35523 (1,586874323) (eksponentti)
120 000 = 120 000 (kertolasku)
Kysymyksiin annetut vastaukset ja selitykset
Woodwood, Texas, Houstonin esikaupunki, on päättänyt sulkea digitaalisen kuilun yhteisöönsä. Muutama vuosi sitten yhteisöjohtajat huomasivat kansalaistensa olevan lukutaidottomia. Heillä ei ollut pääsyä Internet ja heidät suljettiin pois valtatieltä. Johtajat perustivat Internetin pyörillä, joukon liikkuvia tietokoneasemia.
World Wide Web on Wheels on saavuttanut tavoitteensa, jonka mukaan vain 100 lukutaidottoman tietokoneen kansalaista on Woodforestissä. Yhteisön johtajat tutkivat pyörien World Wide Web -verkon kuukausittaista edistymistä. Tietojen lukutaidottomien kansalaisten väheneminen voidaan tietojen mukaan kuvata seuraavalla toiminnolla:
100 = (1 - .12)10
1. Kuinka moni ihminen on lukutaidottomia tietokoneessa 10 kuukauden kuluttua pyörien Internetin perustamisesta?
- 100 ihmistä
Vertaa tätä toimintoa alkuperäiseen eksponentiaaliseen kasvufunktioon:
100 = (1 - .12)10
y = a kappale (1 + b)x
muuttujay edustaa lukutaidottomien ihmisten lukumäärää kymmenessä kuukaudessa, joten 100 ihmistä on edelleen lukutaidottomia, kun pyörien maailmanlaajuinen verkko aloitti toimintansa yhteisössä.
2. Onko tämä toiminto eksponentiaalista rappeutumista tai eksponentiaalista kasvua?
- Tämä funktio edustaa eksponentiaalista rappeutumista, koska negatiivinen merkki on prosenttimuutoksen edessä (.12).
3. Mikä on kuukausimuutos?
- 12 prosenttia
4. Kuinka monta ihmistä oli lukutaidottomia 10 kuukautta sitten, kun pyörien maailmanlaajuinen verkko oli alkanut?
- 359 ihmistä
Käyttäätoimintajärjestys yksinkertaistaa.
100 = (1 - .12)10
100 = (.88)10 (Sulkumerkki)
100 = (.278500976) (eksponentti)
Jaa ratkaistaksesi.
100(.278500976) = (.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1
359.0651689 =
Tarkista vastaus toimintajärjestyksen mukaan.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Sulkumerkki)
100 = 359,0651689 (.278500976) (eksponentti)
100 = 100 (kerro)
5. Jos nämä suuntaukset jatkuvat, kuinka moni ihminen tulee lukutaidottomiksi 15 kuukauden kuluttua pyörien Internetin perustamisesta?
- 52 ihmistä
Lisää siihen, mitä tiedät toiminnosta.
y = 359.0651689(1 - .12) x
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Käytä operaatioiden järjestystä löytääksesi y.
y = 359.0651689(.88)15 (Sulkumerkki)
y = 359,0651689 (.146973854) (eksponentti)
y = 52,777319167 (kerro).