On tärkeää osata laskea tapahtuman todennäköisyys. Tietyt todennäköisyyden tyyppisiä tapahtumia kutsutaan itsenäisiksi. Kun meillä on pari itsenäistä tapahtumaa, voimme joskus kysyä: "Mikä on todennäköisyys, että molemmat näistä tapahtumista tapahtuvat?" Tässä tilanteessa voimme yksinkertaisesti kertoa kaksi todennäköisyyttämme yhdessä.
Näemme kuinka voidaan käyttää kertolaskua itsenäisiin tapahtumiin. Kun olemme käyneet läpi perusteet, näemme yksityiskohdat muutamasta laskelmasta.
Aloitamme itsenäisten tapahtumien määritelmällä. Sisään todennäköisyys, kaksi tapahtumaa ovat riippumattomia, jos yhden tapahtuman lopputulos ei vaikuta toisen tapahtuman tulokseen.
Hyvä esimerkki itsenäisten tapahtumien parista on, kun rullaa suulaketta ja käännämme kolikon. Muotissa näkyvällä numerolla ei ole vaikutusta heitettyyn kolikkoon. Siksi nämä kaksi tapahtumaa ovat itsenäisiä.
Esimerkki parista tapahtumasta, jotka eivät ole riippumattomia, olisi jokaisen kaksosarjan vauvan sukupuoli. Jos kaksoset ovat identtisiä, niin he molemmat ovat uroksia tai molemmat ovat naisia.
Riippumattomien tapahtumien kertolaskeli yhdistää kahden tapahtuman todennäköisyydet todennäköisyyteen, että ne molemmat tapahtuvat. Säännön käyttämiseksi meillä on oltava todennäköisyydet jokaiselle riippumattomalle tapahtumalle. Kun otetaan huomioon nämä tapahtumat, kertomissääntö ilmoittaa todennäköisyyden, että molemmat tapahtumat tapahtuvat, kertomalla kunkin tapahtuman todennäköisyydet.
Merkitse tapahtumia ja B ja kunkin todennäköisyydet P (A) ja P (B). Jos ja B ovat itsenäisiä tapahtumia, sitten:
Jotkut tämän kaavan versiot käyttävät vielä enemmän symboleja. Sanan "ja" sijasta voimme sen sijaan käyttää leikkaussymbolia: ∩. Joskus tätä kaavaa käytetään itsenäisten tapahtumien määritelmänä. Tapahtumat ovat riippumattomia vain ja vain jos P (A ja B) = P (A) x P (B).
Näemme kuinka kertolaskua käytetään tarkastelemalla muutamia esimerkkejä. Oletetaan ensin, että kierrämme kuusipuolista suulaketta ja käännämme sitten kolikon. Nämä kaksi tapahtumaa ovat itsenäisiä. A-arvon todennäköisyys on 1/6. Pään todennäköisyys on 1/2. Vierintä todennäköisyys 1 ja pään saaminen on 1/6 x 1/2 = 1/12.
Jos olisimme taipumus suhtautumaan skeptisesti tähän tulokseen, tämä esimerkki on tarpeeksi pieni, jotta kaikki tulokset olisivat voitaisiin luetella: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Näemme, että tuloksia on kaksitoista, jotka kaikki tapahtuvat yhtä todennäköisesti. Siksi todennäköisyys 1 ja pää on 1/12. Kertolaskusääntö oli paljon tehokkaampi, koska se ei vaatinut meitä luettelemaan koko näytetilaamme.
Oletetaan, että toisessa esimerkissä vedetään kortti a: sta vakiokansi, vaihda tämä kortti, sekoita kansi ja piirtää sitten uudelleen. Kysymme sitten, mikä on todennäköisyys, että molemmat kortit ovat kuninkaita. Koska olemme piirtäneet korvaavalla, nämä tapahtumat ovat riippumattomia ja kertolaskua sovelletaan.
Kuningas piirtää todennäköisyyden ensimmäiselle kortille on 1/13. Todennäköisyys piirtää kuningas toiseen tasapeliin on 1/13. Syynä tähän on se, että korvaamme kuninkaan, jonka vetäimme ensimmäisestä kerrasta. Koska nämä tapahtumat ovat riippumattomia, käytämme kertolaskua nähdäksemme, että kahden kuninkaan vetämisen todennäköisyys saadaan seuraavasta tuotteesta 1/13 x 1/13 = 1/169.
Jos emme korvaa kuningasta, niin meillä on erilainen tilanne, jossa tapahtumat eivät olisi riippumattomia. Ensimmäisen kortin tulos vaikuttaa kuninkaan piirtämisen toiseen korttiin todennäköisyyteen.