Todennäköisyys, että koko talo valssataan Yahtzeessa?

Yahtzeen peliin kuuluu viiden vakio noppaa käyttö. Jokaisella vuorolla pelaajille annetaan kolme rullaa. Jokaisen rullan jälkeen voidaan pitää mikä tahansa määrä noppaa tavoitteena saada näiden noppien erityiset yhdistelmät. Jokainen erityyppinen yhdistelmä on eri määrän pisteiden arvoinen.

Yksi näistä yhdistelmätyypeistä on nimeltään täyskäsi. Kuten täysi talo pokeripelissä, tämä yhdistelmä sisältää kolme tietyn numeron ja parin, jolla on eri numero. Koska Yahtzee käsittää noppaa satunnaisesti, tämän pelin voidaan analysoida käyttämällä todennäköisyyttä määrittämään kuinka todennäköistä on täyden talon vieriminen yhdellä rullalla.

Aloitamme esittämällä oletuksemme. Oletetaan, että käytetyt noppaa ovat oikeudenmukaisia ​​ja toisistaan ​​riippumattomia. Tämä tarkoittaa, että meillä on yhtenäinen näytetila, joka koostuu kaikista mahdollisista viiden noppaan rullasta. Vaikka Yahtzeen peli sallii kolmen rullan, harkitsemme vain tapausta, jossa saamme täyden talon yhdellä rullalla.

Koska työskentelemme kanssa yhtenäinenesimerkkitila, todennäköisyyden laskelmasta tulee laskelma parista laskentaongelmasta. Täysi talon todennäköisyys on täyden talon rullaamiskeinojen lukumäärä jaettuna näytetilan tulosten lukumäärällä.

Tulosten määrä näytetilassa on suoraviivainen. Koska noppaa on viisi ja kussakin näistä nopista voi olla yksi kuudesta erilaisesta tuloksesta, tulosten määrä näytetilassa on 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Seuraavaksi laskemme kuinka monta tapaa rullata täyskäsi. Tämä on vaikeampi ongelma. Täysikokoisen talon saamiseksi tarvitsemme kolme yhden tyyppistä noppaa, jota seuraa pari erityyppistä noppaa. Jaamme tämän ongelman kahteen osaan:

• Kuinka monta tyyppiä täysrakennuksia voidaan valssata?
• Kuinka monta tapaa tietyn tyyppinen täys talo voidaan valssata?

Kun tiedämme kunkin näistä lukumäärän, voimme kertoa ne yhteen saadaksesi meille valssattavien täysien talojen kokonaismäärän.

Aloitamme tarkastelemalla sitä, kuinka monta tyyppiä täysrakennuksia voidaan valssata. Mitä tahansa numeroista 1, 2, 3, 4, 5 tai 6 voitaisiin käyttää kolmen tyyppisissä. Pari on jäljellä viisi numeroa. Siksi on 6 x 5 = 30 erityyppistä täyskokoista yhdistelmää, jotka voidaan valssata.

Esimerkiksi, meillä voi olla 5, 5, 5, 2, 2 yhden tyyppisenä täysitalona. Toinen tyyppi täyskäsi olisi 4, 4, 4, 1, 1. Toinen vielä olisi 1, 1, 4, 4, 4, mikä on erilainen kuin edellinen täys talo, koska nelin ja toisen roolit on vaihdettu.

Nyt määrittelemme eri määrät tapoja rullata tiettyä täysitaloa. Esimerkiksi jokainen seuraavista antaa meille saman kolmen nelin ja kahden täyden talon:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Näemme, että on olemassa ainakin viisi tapaa kääntää tietty täysi talo. Onko muita? Vaikka luetteloisimmekin muita mahdollisuuksia, kuinka tiedämme, että olemme löytäneet ne kaikki?

Näihin kysymyksiin vastaamisen avain on ymmärtää, että olemme tekemisissä laskentaongelman kanssa, ja määrittää, millaiseen laskentaongelmaan työskentelemme. Aseita on viisi, ja kolme näistä on täytettävä neljällä. Järjestyksellä, johon asetamme neljämme, ei ole merkitystä, kunhan tarkat paikat täytetään. Kun nelinten sijainti on määritetty, ne asetetaan automaattisesti. Näistä syistä meidän on harkittava yhdistelmä viidestä paikasta, jotka otettiin kolme kerrallaan.

Käytämme yhdistelmäkaavaa saadaksesi C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Tämä tarkoittaa, että on olemassa 10 erilaista tapaa rullata tietty täyskäsi.

Kun kaikki tämä kootaan yhteen, meillä on joukko täysiä taloja. On 10 x 30 = 300 tapaa saada täysi talo yhdellä rullalla.

Nyt täyden talon todennäköisyys on yksinkertainen jakolaskelma. Koska koko talon rullaus yhdellä telalla on 300 tapaa ja viiden noppaa on mahdollista suorittaa 7776 rullaa, täyden talon valssaamisen todennäköisyys on 300/7776, joka on lähellä 1/26 ja 3,85%. Tämä on 50 kertaa todennäköisempi kuin Yahtzeen vierittäminen yhdessä rullassa.

Tietenkin on erittäin todennäköistä, että ensimmäinen rulla ei ole täyskäsi. Jos näin on, niin meillä on kaksi muuta rullaa, jotka tekevät täysistunnosta paljon todennäköisemmän. Tämän todennäköisyys on paljon monimutkaisempi määritellä kaikkien mahdollisten tilanteiden vuoksi, jotka olisi otettava huomioon.