Ehdolliset lausunnot esiintyvät kaikkialla. Matematiikassa tai muualla ei vie kauaa, kun törmäämme muotoon ”Jos P sitten Q.” Ehdolliset lausunnot ovat todella tärkeitä. Tärkeää on myös lauseet, jotka liittyvät alkuperäiseen ehdolliseen lausuntoon muuttamalla P, Q ja lausunnon kieltäminen. Alkaen alkuperäisestä lausunnosta, päädymme kolmeen uuteen ehdolliseen lauseeseen, jotka nimetään vastakkaisiksi, kontrapositiivisiksi ja käänteinen.
Negaatio
Ennen kuin määrittelemme ehdollisen lausunnon käänteisen, kontrapositiivisen ja käänteisen, meidän on tutkittava kieltämisen aihe. Jokainen lausunto logiikka on joko totta tai vääriä. Lauseen kieltäminen merkitsee vain sanan “ei” lisäämistä lauseen oikeaan kohtaan. Sana “ei” lisätään siten, että se muuttaa lausunnon totuuden tilan.
Se auttaa tarkastelemaan esimerkkiä. Lausunto ”The suorakulmainen kolmio on yhtäsuuntainen "on kieltävä" Oikea kolmio ei ole tasasivuinen. " Negaation "10 on parillinen luku" on lause "10 ei ole parillinen luku." Tietysti tästä viimeinen esimerkki, voisimme käyttää parittoman luvun määritelmää ja sanoa sen sijaan, että “10 on pariton luku”. Huomaamme, että lausunnon totuus on päinvastainen kuin lausunnossa negaatio.
Tutkimme tätä ajatusta abstraktimmassa ympäristössä. Kun lausunto P on totta, väite “ei P”On väärä. Samoin, jos P on väärä, sen kieltäytyminen “eiP" on totta. Negaatioita merkitään yleensä tilde ~. Joten sen sijaan, että kirjoittaisin “ei P”Voimme kirjoittaa ~P.
Keskustelu, kontrapositiivinen ja käänteinen
Nyt voimme määritellä ehdollisen lausunnon käänteisen, kontrapositiivisen ja käänteisen. Aloitamme ehdollisella lauseella ”Jos P sitten Q.”
- Ehdollisen lauseen käänteinen vastakohta on ”Jos Q sitten P.”
- Ehdollisen lausunnon kontrapositiivinen on ”Jos ei Q sitten ei P.”
- Ehdollisen lausunnon käänteinen on ”Jos ei P sitten ei Q.”
Näemme kuinka nämä lausunnot toimivat esimerkillä. Oletetaan, että aloitamme ehdollisella lausunnolla "Jos satoi eilen illalla, jalkakäytävä on märkä."
- Ehdollisen lausunnon päinvastoin on: "Jos jalkakäytävä on märkä, satoi viime yönä."
- Ehdollisen lausunnon vasta-aihe on "Jos jalkakäytävä ei ole märkä, niin se ei saanut viime yönä."
- Ehdollisen lausunnon kääntö on "Jos sadetta ei ollut viime yönä, jalkakäytävä ei ole märkä."
Looginen vastaavuus
Saatamme ihmetellä, miksi on tärkeää muodostaa nämä muut ehdolliset lausunnot alkuperäisestä. Edellä olevan esimerkin tarkka tarkastelu paljastaa jotain. Oletetaan, että alkuperäinen lausunto "Jos satoi viime yönä, jalkakäytävä on märkä", on totta. Mitkä muista väitteistä on myös oltava totta?
- Käänteinen "Jos jalkakäytävä on märkä, satoi viime yönä" ei välttämättä ole totta. Jalkakäytävä voi olla märkä muista syistä.
- Käänteinen käännös "Jos sadetta ei ollut viime yönä, silloin jalkakäytävä ei ole märkä", ei välttämättä ole totta. Jälleen se, että se ei saanut, ei tarkoita, että jalkakäytävä ei ole märkä.
- Kontrapositiivinen ”Jos jalkakäytävä ei ole märkä, niin se ei saanut viime yönä”, on totta.
Mitä näemme tästä esimerkistä (ja mikä voidaan todistaa matemaattisesti), on se, että ehdollisella lauseella on sama totuusarvo kuin sen vastakkaisella. Sanomme, että nämä kaksi lausuntoa ovat loogisesti vastaavia. Näemme myös, että ehdollinen lausunto ei ole loogisesti sama kuin sen käänteinen ja käänteinen lause.
Koska ehdollinen lausunto ja sen kontrapositiivinen ovat loogisesti ekvivalentteja, voimme käyttää sitä hyväksi, kun todistamme matemaattisia lauseita. Sen sijaan, että osoittaisimme ehdollisen lausunnon totuuden suoraan, voimme sen sijaan käyttää epäsuoraa todistusstrategiaa todistaakseen kyseisen lausunnon vastakkaisuuden totuuden. Kontrapositiiviset todisteet toimivat, koska jos kontrapositiivinen on totta, loogisen vastaavuuden takia, myös alkuperäinen ehdollisuus on totta.
Osoittautuu, että vaikka käänteinen ja käänteinen eivät ole loogisesti samanlaisia kuin alkuperäinen ehdollinen lausunto, ne ovat loogisesti vastaavia toisiaan. Tälle on helppo selitys. Aloitamme ehdollisella lauseella ”Jos Q sitten P”. Tämän lausunnon vastakohta on ”Jos ei P sitten ei Q.” Koska käänteinen on käänteisen kontrapositiivinen, käänteinen ja käänteinen ovat loogisesti vastaavia.