Kuinka laskea Poisson-jakauman varianssi

Satunnaismuuttujan jakauman varianssi on tärkeä ominaisuus. Tämä luku osoittaa jakauman leviämisen, ja se saadaan jakamalla neliö keskihajonta. Yksi yleisesti käytetty erillinen jakelu on Poisson-jakauman jakauma. Näemme kuinka laskea Poisson-jakauman varianssi parametrilla λ.

Poisson-jakaumia käytetään, kun meillä on jonkinlainen jatkuvuus ja laskemme erillisiä muutoksia tässä jatkuvuudessa. Tämä tapahtuu, kun otamme huomioon niiden ihmisten lukumäärän, jotka saapuvat elokuvalippujen laskurille tunnin kuluessa, seuraavat niiden autojen lukumäärä, jotka kulkevat risteyksessä nelitoimisuunnan kanssa, tai lasketaan virheiden lukumäärä lanka.

Jos teemme muutamia selkeyttäviä oletuksia näissä skenaarioissa, niin nämä tilanteet vastaavat Poisson-prosessin ehtoja. Sanomme sitten, että satunnaismuuttujalla, joka laskee muutosten määrän, on Poisson-jakauma.

Poisson-jakauma viittaa oikeastaan ​​äärettömään jakeluperheeseen. Nämä jakaumat on varustettu yhdellä parametrilla λ. Parametri on positiivinen

Poisson-jakauman todennäköisyysmassifunktio saadaan:

f(x) = (λxe-λ)/x!

Tässä ilmaisussa kirje e on numero ja on matemaattinen vakio, jonka arvo on suunnilleen yhtä suuri kuin 2,718281828. Muuttuja x voi olla mikä tahansa ei-negatiivinen kokonaisluku.

Poisson-jakauman keskiarvon laskemiseksi käytämme tätä jakaumaa momentin tuottava toiminto. Me näemme sen:

M( T ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!

Muistamme nyt Maclaurin-sarjan e^U. Koska mikä tahansa funktion johdannainen e^U On e^U, kaikki nämä nollaksi arvioidut johdannaiset antavat meille 1. Tuloksena on sarja e^U = Σ Uⁿ/n!.

Käyttämällä Maclaurin-sarjaa e^U, voimme ilmaista hetkeä tuottavaa funktiota ei sarjana, vaan suljetussa muodossa. Yhdistämme kaikki termit eksponenttiin x. Täten M(T) = e^{λ(et - 1)}.

Löydämme nyt varianssin ottamalla toisen johdannaisen M ja arvioidaan tämä nollassa. Siitä asti kun M’(T) =λe^TM(T), käytämme tuotesääntöä toisen johdannaisen laskemiseen:

M’’(T)=λ2e2TM’(T) + λeTM(T)

Arvioimme tämän nollassa ja löydämme sen M’’(0) = λ² + λ. Käytämme sitten sitä tosiasiaa, että M'(0) = λ varianssin laskemiseksi.

var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.

Tämä osoittaa, että parametri λ ei ole vain Poisson-jakauman keskiarvo, mutta on myös sen varianssi.