Luottamusväli kahden väestöosuuden erolle

Luottamusvälit ovat yksi osa päättelytilastot. Aiheen perusajatuksena on arvioida tuntemattoman väestön arvo parametri käyttämällä tilastollista otosta. Emme voi vain arvioida parametrin arvoa, mutta voimme myös mukauttaa menetelmäämme estimoida kahden vastaavan parametrin välinen ero. Esimerkiksi saatamme ehkä löytää ero prosentuaalisen osuuden miesten yhdysvaltalaisista äänioikeudellisista väestöryhmistä, jotka tukevat tiettyä lakia, verrattuna naisten äänioikeuteen.

Nähdään, kuinka tämäntyyppinen laskenta tehdään rakentamalla luottamusväli kahden populaatiosuhteen erolle. Prosessissa tutkimme osaa tämän laskelman taustalla olevasta teoriasta. Näemme joitain samankaltaisuuksia rakennettaessa a luottamusväli yhdelle väestöosuudelle sekä a luottamusväli kahden populaatiokeskiarvon erolle.

Ennen kuin tarkastelemme tiettyä kaavaa, jota käytämme, tarkastellaan yleisiä puitteita, joihin tämäntyyppinen luottamusväli sopii. Tarkasteltavan luottamusvälin tyyppi annetaan seuraavalla kaavalla:

Arvio +/- virhemarginaali

Monet luottamusvälit ovat tämän tyyppisiä. Meidän on laskettava kaksi numeroa. Ensimmäinen näistä arvoista on parametrin arvio. Toinen arvo on virhemarginaali. Tämä virhemarginaali johtuu siitä, että meillä on arvio. Luottamusväli tarjoaa meille joukon mahdollisia arvoja tuntemattomalle parametrillemme.

Meidän tulisi varmistaa ennen laskelmien tekemistä, että kaikki ehdot täyttyvät. Jotta voitaisiin löytää luottamusväli kahden populaatio-osuuden erolle, meidän on varmistettava, että seuraava pitää voimassa:

• Meitä on kaksi yksinkertaiset satunnaiset näytteet suurista populaatioista. Tässä "suuri" tarkoittaa, että populaatio on vähintään 20 kertaa suurempi kuin otoksen koko. Otoskokot merkitään n₁ ja n₂.
• Henkilömme on valittu toisistaan ​​riippumattomasti.
• Jokaisessa näytteessämme on ainakin kymmenen onnistumista ja kymmenen epäonnistumista.

Jos luettelon viimeinen kohde ei ole tyytyväinen, niin voi olla olemassa kiertotapa. Voimme muokata plus-4 luottamusväli rakentaa ja hankkia vankat tulokset. Eteneessä oletamme, että kaikki edellä mainitut ehdot on täytetty.

Nyt olemme valmiita rakentamaan luottamusvälin. Aloitamme arviolla väkilukuosuuksien erotuksesta. Molemmat näistä populaatiosuhteista arvioidaan otossuhteella. Nämä otososuudet ovat tilastoja, jotka saadaan jakamalla onnistumisten lukumäärä kussakin otoksessa ja jakamalla sitten vastaavalla otoksen koosta.

Ensimmäistä väestöosuutta merkitään p₁. Jos näytteessä onnistumisten määrä tästä populaatiosta on K₁, sitten meillä on näyteosuus K₁ / n_1.

Merkitsemme tätä tilastoa p̂: llä₁. Luimme tämän symbolin nimellä "s₁"sillä", koska se näyttää symbolilta p₁ hattu päällä.

Samalla tavalla voimme laskea otossuhteen toisesta populaatiostamme. Tämän populaation parametri on p₂. Jos näytteessä onnistumisten määrä tästä populaatiosta on K₂, ja otossuhteemme on p̂₂ = k₂ / n_2.

Näistä kahdesta tilastosta tulee ensimmäinen osa luottamusväliämme. Arvio p₁ on p̂₁. Arvio p₂ on p̂_2. Joten arvio erolle p₁ - p₂ on p̂₁ - p̂_2.

Seuraavaksi meidän on hankittava kaava virhemarginaalille. Tätä varten harkitsemme ensin näytteen jakaminen p̂₁ . Tämä on binomijakauma, jolla on todennäköisyys menestyä p₁ ja n₁ tutkimuksissa. Tämän jakauman keskiarvo on osuus p₁. Tämän tyyppisen satunnaismuuttujan keskihajonnalla on varianssi p₁ (1 - p₁ )/n₁.

P̂: n näytteenjako₂ on samanlainen kuin p̂₁ . Muuta yksinkertaisesti kaikki indeksit välillä 2 ja meillä on binomijakauma p: n keskiarvolla₂ ja varianssi p₂ (1 - p₂ )/n₂.

Tarvitsemme nyt muutamia tuloksia matemaattisista tilastoista p̂: n näytteen jakauman määrittämiseksi₁ - p̂₂. Tämän jakauman keskiarvo on p₁ - p₂. Koska varianssit laskevat yhteen, näemme, että näytteistysjakauman varianssi on p₁ (1 - p₁ )/n₁ + p₂ (1 - p₂ )/n_2. Jakauman keskihajonta on tämän kaavan neliöjuuri.

Meidän on tehtävä pari mukautusta. Ensimmäinen on, että kaava p̂: n keskihajonnalle₁ - p̂₂ käyttää tuntemattomia parametreja p₁ ja p₂. Tietenkin, jos tiedämme nämä arvot todella, niin se ei olisi ollenkaan mielenkiintoinen tilastollinen ongelma. Meidän ei tarvitse arvioida eroa p₁ ja p_2.. Sen sijaan voimme yksinkertaisesti laskea tarkan eron.

Tämä ongelma voidaan korjata laskemalla vakiovirhe eikä keskihajonta. Ainoa mitä meidän on tehtävä, on korvata populaatioosuudet otossuhteilla. Vakiovirheet lasketaan tilastojen perusteella parametrien sijasta. Vakiovirhe on hyödyllinen, koska se estimoi keskihajonnan tehokkaasti. Tämä tarkoittaa meille sitä, että meidän ei enää tarvitse tietää parametrien arvoa p₁ ja p₂. .Koska nämä näytteen mittasuhteet ovat tiedossa, vakiovirhe annetaan seuraavan lausekkeen neliöjuurilla:

p₁ (1 - p̂₁ )/n₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/n_2.

Toinen kohta, johon meidän on puututtava, on otantajakelun erityinen muoto. Osoittautuu, että voimme käyttää normaalia jakelua p̂: n näytteenjaon jakautumiseen₁ - p̂₂. Syynä tähän on jonkin verran tekninen, mutta se kuvataan seuraavassa kappaleessa.

Molemmat p̂₁ ja p̂₂ on näytteen jakauma, joka on binominen. Kutakin näistä binomijakaumista voidaan likimääräisesti normalisoida. Siten p̂₁ - p̂₂ on satunnaismuuttuja. Se muodostetaan kahden satunnaismuuttujan lineaarisena yhdistelmänä. Jokainen näistä on likimääräinen normaalijakauman avulla. Siksi p̂: n näytteenjako₁ - p̂₂ on myös normaalisti jaettu.

Meillä on nyt kaikki tarvittava luottamusvälin kokoamiseksi. Arvio on (p̂₁ - p̂₂) ja virhemarginaali on z * [p₁ (1 - p̂₁ )/n₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/n_2.]^0.5. Arvo, johon syötetään z * luottaa luottamustasoon C. Yleisesti käytetyt arvot z * ovat 1,645 90%: n luotettavuudella ja 1,96: 95%: n luotettavuudella. Nämä arvot z * merkitsevät normaalin normaalijakauman osaa missä tarkalleen C Prosentti jakaumasta on välillä z * ja z *.

Seuraava kaava antaa meille luottamusvälin kahden populaatiosuhteen erolle:

(p₁ - p̂₂) +/- z * [p₁ (1 - p̂₁ )/n₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/n_2.]^0.5