Mikä on tyhjä sarja set-teoriassa?

Milloin mikään ei voi olla jotain? Se näyttää typerältä kysymykseltä ja melko paradoksaaliselta. Asetetun teorian matemaattisella kentällä on rutiini, että mikään ei ole jotain muuta kuin mitään. Miten tämä voi olla?

Kun muodostamme joukon ilman elementtejä, meillä ei enää ole mitään. Meillä on sarja, jossa ei ole mitään. Sarjalle on olemassa erityinen nimi, joka ei sisällä elementtejä. Tätä kutsutaan tyhjäksi tai tyhjäksi.

Tyhjän joukon määritelmä on melko hieno ja vaatii vähän ajattelua. On tärkeää muistaa, että ajattelemme a aseta elementtien kokoelmana. Itse sarja eroaa sen sisältämistä elementeistä.

Tarkastellaan esimerkiksi {5}, joka on joukko, joka sisältää elementin 5. Joukko {5} ei ole numero. Se on joukko, jonka numero on elementti 5, kun taas 5 on numero.

Samalla tavalla tyhjä sarja ei ole mitään. Sen sijaan se on sarja, jossa ei ole elementtejä. Se auttaa ajattelemaan sarjoja säiliöinä, ja elementit ovat niitä asioita, jotka laitamme niihin. Tyhjä kontti on edelleen kontti ja on analoginen tyhjän sarjan kanssa.

Tyhjä sarja on ainutlaatuinen, mistä syystä on aiheellista puhua tyhjä sarja, ei tyhjä sarja. Tämä erottaa tyhjän sarjan muista sarjoista. Niissä on äärettömän monta sarjaa, joissa yksi elementti. Sarjoilla {a}, {1}, {b} ja {123} on molemmat yksi elementti, joten ne vastaavat toisiaan. Koska elementit itsessään eroavat toisistaan, sarjat eivät ole yhtä suuret.

Yllä olevissa esimerkeissä, joissa jokaisella on yksi elementti, ei ole mitään erityistä. Yhtä poikkeusta lukuun ottamatta kaikille laskenta numeroille tai äärettömyyksille on äärettömän monta sarjaa tätä kokoa. Poikkeuksena on luku nolla. On vain yksi joukko, tyhjä joukko, ilman elementtejä siinä.

Matemaattinen todistus tästä tosiasiasta ei ole vaikea. Oletetaan ensin, että tyhjä joukko ei ole ainutlaatuinen, että niissä on kaksi joukkoa, joissa ei ole elementtejä, ja sitten käytämme joukkoa joukkoteorian ominaisuuksia osoittamaan, että tämä oletus merkitsee ristiriitaa.

Tyhjä joukko on merkitty symbolilla ∅, joka tulee samanlaisesta symbolista tanskalaisessa aakkossa. Jotkut kirjat viittaavat tyhjään joukkoon sen vaihtoehtoisella nimellä nolla.

Koska tyhjää sarjaa on vain yksi, on syytä nähdä, mitä tapahtuu, kun asetetut toiminnot risteystä, liitosta ja komplementtia käytetään tyhjän ryhmän ja yleisen ryhmän kanssa, jota me tarkoitamme mennessä X. On myös mielenkiintoista tarkastella tyhjän joukon alajoukkoa ja milloin tyhjä joukko on alajoukko. Nämä tosiseikat on koottu alla:

• Risteys kaikista tyhjän sarjan sarjoista on tyhjä. Tämä johtuu siitä, että tyhjässä joukossa ei ole elementtejä, joten kahdella joukolla ei ole yhteisiä elementtejä. Symbolina kirjoitamme X ∩ ∅ = ∅.
• liitto kaikista sarjoista, joissa on tyhjä sarja, on sarja, jonka kanssa aloitimme. Tämä johtuu siitä, että tyhjässä joukossa ei ole elementtejä, joten emme lisää elementtejä toiseen joukkoon muodostaessamme liittoa. Symbolina kirjoitamme X U ∅ = X.
• täydentää tyhjästä sarjasta on universaali sarja asetukseksi, jossa työskentelemme. Tämä johtuu siitä, että kaikkien niiden elementtien joukko, jotka eivät ole tyhjää, ovat vain kaikkien elementtien joukkoja.
• Tyhjä joukko on minkä tahansa joukon alajoukko. Tämä johtuu siitä, että muodostamme joukon alajoukkoja X valitsemalla (tai valitsematta) elementtejä X. Yksi vaihtoehto osajoukolle on käyttää mitään elementtejä X. Tämä antaa meille tyhjän sarjan.