Todennäköisyydet ja valehtelijan noppa

Monia onnenpelejä voidaan analysoida todennäköisyysmatematiikan avulla. Tässä artikkelissa tarkastellaan Liar's Dice -pelin nimeämistä eri puolia. Tämän pelin kuvaamisen jälkeen laskemme siihen liittyvät todennäköisyydet.

Liar's Dice -peli on oikeasti perhepelejä, jotka sisältävät bluffointia ja petoksia. Pelistä on useita variantteja, ja se menee useilla eri nimillä, kuten Pirate's Dice, Deception ja Dudo. Versio tästä pelistä esiteltiin elokuvassa Karibian merirosvot: Dead Man’s Chest.

Tutkittavassa pelin versiossa jokaisella pelaajalla on kuppi ja sarja noppaa. Nopat ovat vakiona, kuusipuolisia noppaa, jotka on numeroitu yhdestä kuuteen. Jokainen heittää noppaa pitäen heidät kupin peittämässä. Soveltuvana ajankohtana pelaaja katsoo noppisarjansa pitäen ne piilossa kaikilta muilta. Peli on suunniteltu siten, että jokaisella pelaajalla on täydellinen tieto omasta noppaajoukostaan, mutta hänellä ei ole tietoa muista heitetyistä nopista.

Kun jokaisella on ollut tilaisuus tarkastella rullattua noppaa, tarjoaminen alkaa. Jokaisella vuorolla pelaajalla on kaksi vaihtoehtoa: tehdä korkeampi tarjous tai kutsua edellinen tarjous valehtelijaksi. Tarjouksia voidaan tehdä korkeammilla tarjoamalla korkeampaa noppa-arvoa yhdestä kuuteen tai tarjoamalla suurempi määrä samaa noppa-arvoa.

Esimerkiksi kolmen twos -hintatarjousta voidaan korottaa ilmoittamalla ”Four twos”. Sitä voidaan myös lisätä sanomalla ”Kolme kolmea”. Yleensä noppien lukumäärä tai nopan arvot eivät voi laskea.

Koska suurin osa noppaa on piilotettu näkymästä, on tärkeätä osata laskea joitain todennäköisyyksiä. Kun tiedät tämän, on helpompi nähdä, mitkä tarjoukset ovat todennäköisesti totta ja mitkä todennäköisesti ovat valheita.

Ensimmäinen näkökohta on kysyä: "Kuinka monta samanlaista noppaa odotamme?" Esimerkiksi, jos kiertämme viittä noppaa, kuinka monta näistä odotamme olevan kaksi? Vastaus tähän kysymykseen käyttää ajatusta odotettu arvo.

Satunnaismuuttujan odotettu arvo on tietyn arvon todennäköisyys kerrottuna tällä arvolla.

Todennäköisyys, että ensimmäinen muotti on kaksi, on 1/6. Koska nopat ovat riippumattomia toisistaan, todennäköisyys, että jokin niistä on kaksi, on 1/6. Tämä tarkoittaa, että valssattujen kaksoissovellusten odotettu lukumäärä on 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.

Tietenkin, kahden tuloksessa ei ole mitään erityistä. Ei ole myöskään mitään erityistä niissä noppien lukumäärässä, joita pohdimme. Jos rullamme n noppaa, minkä tahansa kuudesta mahdollista tulosta odotetaan olevan n/6. Tätä lukua on hyvä tietää, koska se antaa meille lähtökohdan, jota voidaan käyttää kysyttäessäsi muiden tekemiä tarjouksia.

Esimerkiksi, jos pelaamme valehtelija noppaa kuuden nopan kanssa, minkä tahansa arvoista 1 - 6 odotettu arvo on 6/6 = 1. Tämä tarkoittaa, että meidän pitäisi olla skeptisiä, jos joku tarjoaa useampaa kuin yhtä arvoa. Pitkällä tähtäimellä keskiarvoisimme yhden mahdollisista arvoista.

Oletetaan, että kierrämme viisi noppaa ja haluamme löytää todennäköisyyden kääntyä kahteen kolmeen. Todennäköisyys, että muotti on kolme, on 1/6. Todennäköisyys, että muotti ei ole kolme, on 5/6. Näiden noppien rullat ovat itsenäisiä tapahtumia, joten kerrotaan todennäköisyydet yhtälöllä kertolasku.

Seuraava tuote antaa todennäköisyyden, että kaksi ensimmäistä noppia ovat kolme ja muut noppaa eivät ole kolme.

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Kaksi ensimmäistä noppaa, jotka ovat kolme, on vain yksi mahdollisuus. Nopat, jotka ovat kolme, voivat olla kaikki kaksi viidestä nopana, joita pyöritämme. Me tarkoitamme suulaketta, joka ei ole kolme kerrallaan *. Seuraavat ovat mahdollisia tapoja saada kaksi kolmesta viidestä rullasta:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Näemme, että on olemassa kymmenen tapaa heittää täsmälleen kaksi kolmatta viidestä noppaa.

Kerrotaan nyt yllä oleva todennäköisyys kymmenellä tavalla, joilla meillä voi olla tämä noppaa. Tulos on 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776. Tämä on noin 16%.

Yleistämme nyt yllä olevaa esimerkkiä. Tarkastelemme vierimisen todennäköisyyttä n noppaa ja saada tarkalleen K joilla on tietty arvo.

Aivan kuten ennenkin, todennäköisyys, että haluamasi numero pyörii, on 1/6. Todennäköisyys, että tätä numeroa ei kierretä, annetaan täydentää sääntöä kuin 5/6. Me haluamme K meidän noppaa olla valittu numero. Se tarkoittaa, että n - K ovat lukuisia muita kuin haluamme. Ensimmäisen todennäköisyys K noppaa on tietty numero muiden noppien kanssa, ei tämä numero ole:

(1/6)^K(5/6)^{n - K}

Olisi työlästä, puhumattakaan aikaa vievästä, luetella kaikki mahdolliset tavat noppien tietyn kokoonpanon kääntämiseksi. Siksi on parempi käyttää laskentaperiaatteitamme. Näiden strategioiden kautta näemme, että luemme yhdistelmät.

Siellä on C (n, K) tapoja rullata K tietyntyyppistä noppaa n noppaa. Tämä luku annetaan kaavalla n!/(K!(n - K)!)

Kokoamalla kaiken yhteen, näemme sen rullatessaan n noppaa, todennäköisyys, että tarkalleen K heistä on erityinen luku annetaan kaavalla:

[n!/(K!(n - K)!)] (1/6)^{K(5/6)n - K}

On toinen tapa harkita tämän tyyppisiä ongelmia. Tämä koskee binomijakauma onnistumisen todennäköisyydellä, jonka antaa p = 1/6. Kaava tarkalleen K Näistä nopista, jotka ovat tietty luku, tunnetaan binomiaalin todennäköisyysmassofunktio jakelu.

Toinen tilanne, joka meidän on otettava huomioon, on todennäköisyys, että liikkuu ainakin tietty määrä tiettyä arvoa. Esimerkiksi, kun vieritämme viittä noppaa, mikä on todennäköisyys, että rullaa vähintään kolme? Voisimme rullata kolme, neljä tai viisi. Määritämään todennäköisyys, jonka haluamme löytää, lisäämällä yhteen kolme todennäköisyyttä.

Alla on taulukko todennäköisyyksistä saada tarkka K tietyn arvon, kun kierrämme viittä noppaa.

Seuraavaksi tarkastelemme seuraavaa taulukkoa. Se antaa todennäköisyyden vierittää ainakin tietty määrä arvoa, kun vieritämme yhteensä viittä noppaa. Näemme, että vaikka on todennäköistä, että se vie vähintään yhden 2, se ei ole yhtä todennäköinen, että se vie vähintään neljä 2: ta.