Matematiikassa ja tilastossa keskiarvo viittaa arvoryhmän summaan jaettuna n, missä n on arvojen lukumäärä ryhmässä. Keskiarvo tunnetaan myös nimellä tarkoittaa.
Kuin mediaani ja tila, keskiarvo on keskipitkän taipumuksen mitta, eli se kuvaa tyypillistä arvoa tietyssä joukossa. Keskiarvoja käytetään melko säännöllisesti lopullisten arvosanojen määrittämiseen tietyn lukukauden tai lukukauden aikana. Keskiarvoja käytetään myös suorituskyvyn mittareina. Esimerkiksi lyönnin keskiarvot ilmaisevat, kuinka usein baseball-pelaaja osuu, kun he ovat bat. Kaasumittari ilmaisee, kuinka pitkälle ajoneuvo kulkee tyypillisesti gallonaa polttoainetta.
Keskimmäisellä kielellään tarkoitetaan mitä tahansa, jota pidetään tavallisena tai tyypillisenä.
Matemaattinen keskiarvo
Matemaattinen keskiarvo lasketaan laskemalla arvoryhmän summa ja jakamalla se ryhmän arvojen lukumäärällä. Se tunnetaan myös aritmeettisena keskiarvona. (Muut keskiarvot, kuten geometriset ja harmoniset keskiarvot, lasketaan käyttämällä tulosta ja arvojen vastavuoroista kuin summaa.)
Pienellä arvojoukolla keskiarvon laskeminen vie vain muutaman yksinkertaisen vaiheen. Oletetaan esimerkiksi, että haluamme löytää keskimääräisen iän viiden ihmisen ryhmästä. Heidän ikänsä ovat 12, 22, 24, 27 ja 35. Lisäämme ensin nämä arvot saadaksesi summan:
- 12 + 22 + 24 + 27 + 35 = 120
Sitten otamme tämän summan ja jaamme sen arvojen lukumäärällä (5):
- 120 ÷ 5 = 24
Tulos, 24, on viiden yksilön keski-ikä.
Keskiarvo, mediaani ja tila
Keskiarvo tai keskiarvo ei ole ainoa keskitason taipumus, vaikka se on yksi yleisimmistä. Muut yleiset mitat ovat mediaani ja tila.
Mediaani on tietyn joukon keskiarvo tai arvo, joka erottaa ylemmän puolikkaan alaosasta. Yllä olevassa esimerkissä mediaani-ikä viiden yksilön keskuudessa on 24, arvo, joka on ylemmän puolikkaan (27, 35) ja alaosan (12, 22) välillä. Tämän tietojoukon tapauksessa mediaani ja keskiarvo ovat samat, mutta niin ei aina ole. Esimerkiksi, jos ryhmän nuorin henkilö olisi 12 vuoden sijasta 7, keskimääräinen ikä olisi 23 vuotta. Mediaani olisi kuitenkin edelleen 24.
Tilastoitsijoille mediaani voi olla erittäin hyödyllinen mitta, etenkin kun tietojoukossa on poikkeamia tai arvoja, jotka eroavat suuresti sarjan muista arvoista. Yllä olevassa esimerkissä kaikki yksilöt ovat 25 vuoden sisällä toisistaan. Mutta entä jos näin ei olisi? Entä jos vanhin henkilö olisi 85 vuoden sijasta 35? Tämä poikkeavuus nostaisi keski-ikän 34: een, arvo on yli 80 prosenttia sarjan arvoista. Tämän poikkeavuuden takia matemaattinen keskiarvo ei ole enää hyvä esitys ryhmän ikäryhmistä. Mediaani 24 on paljon parempi mitta.
Tila on datajoukon yleisin arvo tai se, joka todennäköisimmin esiintyy tilastollisessa näytteessä. Yllä olevassa esimerkissä ei ole tilaa, koska jokainen yksittäinen arvo on ainutlaatuinen. Suuremmassa otoksessa ihmisiä olisi kuitenkin todennäköisesti useita saman ikäisiä yksilöitä, ja yleisin ikä olisi tila.
Painotettu keskiarvo
Tavallisessa keskiarvossa kutakin tietyn tietojoukon arvoa käsitellään yhtäläisesti. Toisin sanoen kukin arvo vaikuttaa yhtä paljon kuin muut lopulliseen keskiarvoon. Jonkin sisällä painotettu keskiarvojoillakin arvoilla on kuitenkin suurempi vaikutus lopulliseen keskiarvoon kuin toisilla. Kuvittele esimerkiksi osakesalkku, joka koostuu kolmesta eri osakekannasta: osake A, osake B ja osake C. Viime vuoden aikana A-osakkeen arvo kasvoi 10 prosenttia, B-osakkeen arvo kasvoi 15 prosenttia ja C-osakkeen arvo kasvoi 25 prosenttia. Voimme laskea keskimääräisen kasvun laskemalla nämä arvot yhteen ja jakamalla ne kolmella. Mutta se kertoisi meille salkun kokonaiskasvusta vain, jos omistajalla olisi yhtä suuret määrät A-, B- ja C-osaketta. Useimmat salkut tietysti sisältävät sekoituksen eri osakkeita, jotkut muodostavat suuremman prosenttiosuuden salkusta kuin toiset.
Salkun yleisen kasvun selvittämiseksi meidän on sitten laskettava painotettu keskiarvo sen perusteella, kuinka suuri osa kustakin osakekannasta on salkussa. Esimerkiksi sanotaan, että osake A muodostaa 20 prosenttia portfoliosta, osake B on 10 prosenttia ja osake C on 70 prosenttia.
Painotamme jokaisen kasvun arvon kertomalla sen prosentuaalisesti salkusta:
- Kanta A = 10 prosentin kasvu x 20 prosenttia salkusta = 200
- Osake B = 15 prosentin kasvu x 10 prosenttia salkusta = 150
- Osake C = 25 prosentin kasvu x 70 prosenttia salkusta = 1750
Sitten summataan nämä painotetut arvot ja jaetaan ne salkun prosenttiarvojen summalla:
- (200 + 150 + 1750) ÷ (20 + 10 + 70) = 21
Tulos, 21 prosenttia, edustaa salkun yleistä kasvua. Huomaa, että se on korkeampi kuin pelkästään kolmen kasvun arvon keskiarvo - 16,67 - mikä on järkevää, kun otetaan huomioon, että parhaiten suorittavat varastot muodostavat myös leijonanosan salkusta.