Oikean luvun ominaisuudet

Mikä on numero? No se riippuu. Numeroita on erilaisia ​​ja jokaisella on omat erityisominaisuutensa. Yksi tyyppi numero, jolla tilasto, todennäköisyyttä ja suuri osa matematiikasta perustuu, kutsutaan reaalilukuksi.

Oppiaksesi, mikä on todellinen luku, käydään ensin lyhyt tutustuminen muun tyyppisiin numeroihin.

Opimme ensin numeroista laskemaan. Aloitimme numeroiden 1, 2 ja 3 sovittamisella sormillamme. Sitten jatkoimme menemistä niin korkealle kuin pystyimme, mikä ei todennäköisesti ollut niin korkea. Nämä laskenta- tai luonnolliset numerot olivat ainoat numerot, joista tiesimme.

Myöhemmin, kun käsitellään vähentämistä, negatiivinen kokonaiset numerot esiteltiin. Positiivisten ja negatiivisten kokonaislukujoukkoa kutsutaan kokonaislukujoukkoksi. Pian tämän jälkeen harkittiin rationaalisia lukuja, joita kutsutaan myös murto-osiksi. Koska jokainen kokonaisluku voidaan kirjoittaa murto-osana, jonka nimittäjässä on 1, sanotaan, että kokonaisluvut muodostavat osajoukon rationaalilukuista.

muinaiset kreikkalaiset tajusi, että kaikkia lukuja ei voida muodostaa murtona. Esimerkiksi 2: n neliöjuuria ei voida ilmaista murto-osana. Tällaisia ​​numeroita kutsutaan irrationaaliksi numeroiksi. Irrationaalisia lukuja on runsaasti, ja tietyssä mielessä yllättäen tietyssä mielessä on enemmän irrationaalisia lukuja kuin rationaalisia lukuja. Muihin irrationaalisiin numeroihin sisältyy pii ja e.

Jokainen todellinen luku voidaan kirjoittaa desimaalina. Erilaisilla reaalilukuilla on erityyppisiä desimaalien laajennuksia. Ratsionaaliluvun desimaalinen laajennus päättyy, kuten 2, 3.25 tai 1.2342, tai toistuu, kuten .33333.. Tai .123123123.. . Vastoin tätä, irrationaalisen luvun desimaalimuistilause on määrittelemätön ja toistamaton. Voimme nähdä tämän desimaalilukuna pi. Pi: lle ei ole loputonta merkkijonoa, ja lisäksi ei ole numeromerkkijonoa, joka toistaisi toistaiseksi.

Oikeat luvut voidaan visualisoida yhdistämällä kukin niistä yhteen äärettömään määrään pisteitä suoraa pitkin. Oikeilla numeroilla on järjestys, mikä tarkoittaa, että jokaiselle kahdelle erilliselle todelliselle numerolle voidaan sanoa, että toinen on suurempi kuin toinen. Sopimuksen mukaan todellinen numeroviivalla vasemmalle siirtyminen vastaa pienempiä ja pienempiä lukuja. Siirtyminen oikealle todellista numeroviivaa pitkin vastaa suurempia ja suurempia lukuja.

Oikeat numerot käyttäytyvät kuten muutkin numerot, joihin olemme tottuneet käsittelemään. Voimme lisätä, vähentää, kertoa ja jakaa ne (niin kauan kuin emme jaa nolla). Lisäys- ja kertolaskujärjestyksellä ei ole merkitystä, koska kommutatiivinen ominaisuus on olemassa. Hajautuva ominaisuus kertoo meille kuinka kertolasku ja lisäys ovat vuorovaikutuksessa toistensa kanssa.

Kuten aiemmin mainittiin, todellisilla lukuilla on järjestys. Mikä tahansa kaksi todellista lukua x ja y, tiedämme, että yksi ja vain yksi seuraavista on totta:

x = y, x < y tai x > y.

Ominaisuus, joka erottaa todelliset numerot muista numerojoukoista, kuten rationaalit, on ominaisuus, joka tunnetaan täydellisyytenä. Täydellisyys on hiukan tekninen selittää, mutta intuitiivinen käsitys on, että rationaalisten lukujen joukossa on aukkoja. Oikea lukujoukolla ei ole aukkoja, koska se on täydellinen.

Esimerkiksi tarkastelemme rationaalisten lukujen 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,. .. Jokainen tämän sekvenssin termi on likimääräisyys pi: hen, joka saadaan katkaisemalla desimaalin laajennus pi: lle. Tämän sekvenssin ehdot tulevat lähemmäksi pi: tä. Kuten olemme jo todenneet, pi ei kuitenkaan ole rationaalinen luku. Meidän on käytettävä irrationaalisia numeroita kytkeäksesi numerolinjan reikät, jotka esiintyvät ottamalla huomioon vain rationaaliset numerot.

Ei pitäisi olla yllättävää, että todellisia lukuja on ääretön määrä. Tämä voidaan nähdä melko helposti, kun otetaan huomioon, että kokonaisluvut muodostavat osajoukon todellisista numeroista. Voimme nähdä tämän myös ymmärtämällä, että numerorivillä on ääretön määrä pisteitä.

Yllättävää on, että reaalilukujen laskemiseen käytetty äärettömyys on erilaista kuin äärettömyys, jota käytetään kokonaisten lukujen laskemiseen. Kokonaislukut, kokonaisluvut ja rationaalit ovat laskettavasti ääretön. Oikeiden lukujen joukko on äärettömästi ääretön.

Oikeat numerot saavat nimensä erottaakseen ne vielä yleisemmästä numeron käsitteestä. Kuvitteellinen numero minä on määritelty negatiivisen neliöjuureksi. Mikä tahansa todellinen luku kerrottuna minä tunnetaan myös kuvitteellisena numerona. Kuvitteelliset numerot venyttävät ehdottomasti lukumallikäsitystämme, koska ne eivät ole ollenkaan mitä ajattelimme, kun ensin oppimme laskemaan.