Odotetun arvon kaava

Yksi luonnollinen kysymys todennäköisyysjakaumasta on "Mikä on sen keskipiste?" Odotettu arvo on yksi tällainen todennäköisyysjakauman keskipisteen mittaus. Koska se mittaa keskiarvoa, ei pitäisi olla yllättävää, että tämä kaava on johdettu keskiarvon kaavasta.

Lähtökohdan luomiseksi meidän on vastattava kysymykseen "Mikä on odotettu arvo?" Oletetaan, että todennäköisyyskokeeseen liittyy satunnaismuuttuja. Oletetaan, että me toistamme tämän kokeen uudestaan ​​ja uudestaan. Saman todennäköisyyskokeen useiden toistojen pitkällä aikavälillä, jos keskiarvoistamme kaikki arvomme Satunnaismuuttuja, saamme odotetun arvon.

Seuraavaksi näemme kuinka kaavaa voidaan käyttää odotettuun arvoon. Tarkastelemme sekä erillisiä että jatkuvia asetuksia ja näemme kaavojen yhtäläisyyksiä ja eroja.

Aloitamme analysoimalla erillinen tapaus. Annetaan diskreetti satunnaismuuttuja X, oletetaan, että sillä on arvoja x₁, x₂, x₃,... x_n, ja vastaavat todennäköisyydet p₁, p₂, p₃,...

Odotettu arvo X annetaan kaavalla:

E (X) = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ +... + x_np_n.

Todennäköisyysmassifunktion ja summausmerkinnän avulla voimme kirjoittaa tämän kaavan kompaktivammin seuraavasti, jossa summaus otetaan indeksin yli minä:

E (X) = Σ x_minäf(x_minä).

Tämä kaavan versio on hyödyllinen nähdä, koska se toimii myös silloin, kun meillä on ääretön näytetila. Tätä kaavaa voidaan myös helposti säätää jatkuvaan tapaukseen.

Käännä kolikko kolme kertaa ja anna X olla päämäärä. Satunnaismuuttuja X on diskreetti ja äärellinen. Ainoat mahdolliset arvot, joita meillä voi olla, ovat 0, 1, 2 ja 3. Tämän todennäköisyysjakauma on 1/8 X = 0, 3/8 for X = 1, 3/8 varten X = 2, 1/8 varten X = 3. Käytä odotetun arvon kaavaa saadaksesi:

(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5

Tässä esimerkissä näemme, että pitkällä tähtäimellä keskimäärin 1,5 päätä tästä kokeesta. Tämä on järkevää intuitioomme suhteen, sillä puolet kolmesta on 1,5.

Nyt siirrymme jatkuvaan satunnaismuuttujaan, jota merkitsemme X. Annamme todennäköisyystiheysfunktion X annetaan funktiolla f(x).

Odotettu arvo X annetaan kaavalla:

E (X) = ∫ x f(x) dX.

Tässä näemme, että satunnaismuuttujamme odotettu arvo ilmaistaan ​​integraalina.

On paljon sovellukset odotettuun arvoon satunnaismuuttuja. Tämä kaava tekee mielenkiintoisesta ulkonäöstä Pietarin paradoksi.