Ratkaisuja laskentaongelmien haastamiseen

Laskenta voi tuntua helppolta tehtävältä. Kun menemme syvemmälle matematiikka tunnetaan kombinatoriikkaa, ymmärrämme, että törmäämme suuriin lukuihin. Koska kertoma näkyy niin usein, ja luku, kuten 10! on suurempi kuin kolme miljoona, ongelmien laskemisesta voi tulla monimutkaista nopeasti, jos yritämme luetella kaikki mahdollisuudet.

Joskus kun harkitsemme kaikkia mahdollisuuksia, joita laskentaongelmat voivat hyödyntää, on helpompaa ajatella ongelman taustalla olevia periaatteita. Tämä strategia voi viedä paljon vähemmän aikaa kuin raa'an voiman yrittäminen luetella joukko yhdistelmät tai permutaatiot.

Kysymys "Kuinka monella tapaa jotain voidaan tehdä?" on erilainen kysymys kokonaan "Mitä ovat tapoja että jotain voidaan tehdä? "Näemme tämän idean töissä seuraavassa haastavien laskentojen sarjassa ongelmia.

Seuraava kysymysryhmä sisältää sanan TRIANGLE. Huomaa, että kirjaimia on yhteensä kahdeksan. Olkoon ymmärrettävä, että vokaaleja sanan TRIANGLE sanat ovat AEI, ja sanan TRIANGLE konsonantit ovat LGNRT. Tutustu todelliseen haasteeseen ennen kuin luet tarkemmin version näistä ongelmista ilman ratkaisuja.

1. Kuinka monella tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää?
   Ratkaisu: Täällä on yhteensä kahdeksan vaihtoehtoa ensimmäiselle kirjaimelle, seitsemän toiselle, kuusi kolmannelle ja niin edelleen. Kertolaskuperiaatteella kerrotaan yhteensä 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40 320 eri tapaa.
2. Kuinka monella tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos kolmen ensimmäisen kirjaimen on oltava RAN (täsmällisessä järjestyksessä)?
   Ratkaisu: Kolme ensimmäistä kirjainta on valittu meille, jättäen meille viisi kirjainta. RAN: n jälkeen meillä on viisi valintaa seuraavalle kirjeelle, jota seuraa neljä, sitten kolme, sitten kaksi ja sitten yksi. Kertolaskuperiaatteella on 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 tapaa järjestää kirjaimet määrätyllä tavalla.
3. Kuinka monella tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos kolmen ensimmäisen kirjaimen on oltava RAN (missä järjestyksessä)?
   Ratkaisu: Tarkastellaan tätä kahdena itsenäisenä tehtävänä: ensimmäinen järjestää RAN-kirjaimet ja toinen järjestää muut viisi kirjainta. Niitä on 3! = 6 tapaa järjestää RAN ja 5! Tavat järjestää muut viisi kirjainta. Joten niitä on yhteensä 3! x 5! = 720 tapaa järjestää TRIANGLE-kirjaimet määritellyllä tavalla.
4. Kuinka monella tapaa sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos kolmen ensimmäisen kirjaimen on oltava RAN (missä järjestyksessä) ja viimeisen kirjaimen on oltava vokaali?
   Ratkaisu: Tarkastellaan tätä kolmena tehtävänä: ensimmäinen asettaa RAN-kirjaimet, toinen valitsee yhden vokaalin I: stä ja E: stä ja kolmas järjestää muut neljä kirjainta. Niitä on 3! = 6 tapaa järjestää RAN, 2 tapaa valita vokaali jäljellä olevista kirjaimista ja 4! Tavat järjestää muut neljä kirjainta. Joten niitä on yhteensä 3! X 2 x 4! = 288 tapaa järjestää TRIANGLE-kirjaimet määritellyllä tavalla.
5. Kuinka monella tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos kolmen ensimmäisen kirjaimen on oltava RAN (missä järjestyksessä) ja seuraavien kolmen kirjaimen on oltava TRI (missä järjestyksessä)?
   Ratkaisu: Jälleen meillä on kolme tehtävää: ensimmäinen järjestää RAN-kirjaimet, toinen järjestää TRI-kirjaimet ja kolmas järjestää kaksi muuta kirjainta. Niitä on 3! = 6 tapaa järjestää RAN, 3! tapoja järjestää TRI ja kaksi tapaa järjestää muut kirjeet. Joten niitä on yhteensä 3! x 3! X 2 = 72 tapaa järjestää TRIANGLE-kirjaimet osoitetulla tavalla.
6. Kuinka monella eri tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos IAE-vokaalien järjestystä ja sijoitusta ei voida muuttaa?
   Ratkaisu: Kolme vokaalia on pidettävä samassa järjestyksessä. Nyt on järjestettävä yhteensä viisi konsonania. Tämä voidaan tehdä viidessä! = 120 tapaa.
7. Kuinka monella eri tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos vokaalien järjestys IAE ei onnistu voidaan muuttaa, vaikka niiden sijoittelu saattaa olla (IAETRNGL ja TRIANGEL ovat hyväksyttäviä, mutta EIATRNGL ja TRIENGLA ovat ei)?
   Ratkaisu: Tämä ajatellaan parhaiten kahdessa vaiheessa. Vaihe yksi on valita paikat, joissa vokaalit menevät. Tässä valitsemme kolme paikkaa kahdeksasta, ja järjestys, jolla tämän teemme, ei ole tärkeä. Tämä on yhdistelmä ja niitä on yhteensä C(8,3) = 56 tapaa suorittaa tämä vaihe. Loput viisi kirjainta voidaan järjestää viiteen! = 120 tapaa. Tämä antaa yhteensä 56 x 120 = 6720 järjestelyä.
8. Kuinka monella eri tavalla sanan TRIANGLE kirjaimet voidaan järjestää, jos IAE-vokaalien järjestystä voidaan muuttaa, tosin niiden sijoittelu ei välttämättä ole?
   Ratkaisu: Tämä on todella sama asia kuin yllä oleva numero 4, mutta eri kirjaimilla. Järjestämme kolme kirjainta kolmesta! = 6 tapaa ja muut viisi kirjainta viidessä! = 120 tapaa. Tämän järjestelyn kokonaismäärä on 6 x 120 = 720.
9. Kuinka monta eri tapaa voidaan järjestää kuusi kirjainta sanasta TRIANGLE?
   Ratkaisu: Koska puhumme järjestelystä, tämä on permutaatio ja niitä on yhteensä P( 8, 6) = 8!/2! = 20 160 tapaa.
10. Kuinka monta eri tapaa voidaan järjestää kuusi kirjainta sanasta TRIANGLE, jos vokaalien ja konsonanttien on oltava yhtä monta?
    Ratkaisu: On vain yksi tapa valita vokaalit, jotka aiomme sijoittaa. Konsonanttien valinta voidaan tehdä C(5, 3) = 10 tapaa. Sitten on 6! tapoja järjestää kuusi kirjainta. Kerro nämä luvut yhteen tuloksena 7200.
11. Kuinka monta eri tapaa kuusi kirjainta sanasta TRIANGLE järjestetään, jos ainakin yhden konsonanssin on oltava?
    Ratkaisu: Jokainen kuuden kirjaimen järjestely täyttää ehdot, joten niitä on P(8, 6) = 20 160 tapaa.
12. Kuinka monta eri tapaa voidaan järjestää kuusi kirjainta sanasta TRIANGLE, jos vokaalien on vuorotella konsonanttien kanssa?
    Ratkaisu: Mahdollisuuksia on kaksi, ensimmäinen kirjain on vokaali tai ensimmäinen kirjain on konsonani. Jos ensimmäinen kirjain on vokaali, meillä on kolme vaihtoehtoa, jota seuraa viisi konsonantilla, kaksi toisella vokaalilla, neljä toisella konsonantilla, yksi viimeisellä vokaalilla ja kolme viimeisellä konsonantilla. Kerrotaan tämä saadaksesi 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Symmetriargumenteilla on sama määrä järjestelyjä, jotka alkavat konsonantilla. Tämä antaa yhteensä 720 järjestelyä.
13. Kuinka monta erilaista neljä kirjainta voidaan muodostaa sanasta TRIANGLE?
    Ratkaisu: Koska puhumme a aseta Neljä kirjainta yhteensä kahdeksasta, järjestys ei ole tärkeä. Meidän on laskettava yhdistelmä C(8, 4) = 70.
14. Kuinka monta erilaista neljän kirjaimen joukkoa voidaan muodostaa sanasta TRIANGLE, jossa on kaksi vokaalia ja kaksi konsonania?
    Ratkaisu: Tässä me muotoilemme sarjamme kahdessa vaiheessa. On C(3, 2) = 3 tapaa valita kaksi vokaalia yhteensä 3: sta. On C(5, 2) = 10 tapaa valita konsonantit viidestä saatavilla olevasta. Tämä antaa yhteensä 3x10 = 30 sarjaa mahdollista.
15. Kuinka monta eri sarjaa neljästä kirjaimesta voi muodostua sanasta TRIANGLE, jos haluamme ainakin yhden vokaalin?
    Ratkaisu: Tämä voidaan laskea seuraavasti:

• Neljä sarjaa yhdellä vokaalilla on C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Neljä sarjaa, joissa on kaksi vokaalia, on C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Neljä sarjaa kolmella vokaalilla on C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Tämä antaa yhteensä 65 erilaista sarjaa. Vaihtoehtoisesti voimme laskea, että on 70 tapaa muodostaa joukko neljästä kirjaimesta ja vähentää C(5, 4) = 5 tapaa hankkia sarja ilman vokaalia.