Chi-neliön jakauman maksimi- ja käännepisteet

Matemaattiset tilastot käyttää matematiikan eri alojen tekniikoita todistaakseen lopullisesti, että tilastoja koskevat väitteet ovat totta. Näemme kuinka laskennan avulla määritetään edellä mainitut arvot molempien enimmäisarvoista chi-neliöjakauma, joka vastaa sen moodia, samoin kuin löytää jakelu.

Ennen kuin teemme tämän, keskustelemme maksimien ja käännepisteiden ominaisuuksista yleensä. Tutkimme myös menetelmää maksimipisteen laskemiseksi.

Diskreetissä datajoukossa tila on yleisimmin esiintyvä arvo. Tietoja histogrammissa edustaa korkein palkki. Kun tiedämme korkeimman palkin, tarkastelemme data-arvoa, joka vastaa tämän palkin perustaa. Tämä on tila tietojoukollemme.

Samaa ideaa käytetään jatkuvan jakelun parissa. Tällä kertaa löytääksesi moodin, etsimme jakelun korkeinta huippua. Tämän jakauman kuvaajalle piikin korkeus on y-arvo. Tätä y-arvoa kutsutaan kaavion maksimiksi, koska arvo on suurempi kuin mikään muu y-arvo. Tila on vaaka-akselia pitkin oleva arvo, joka vastaa tätä enimmäisarvoa y.

Vaikka voimme yksinkertaisesti tarkastella jakelukaaviota tilan löytämiseksi, tässä menetelmässä on joitain ongelmia. Tarkkuutemme on vain yhtä hyvä kuin kuvaajamme, ja meidän on todennäköisesti arvioitava. Lisäksi funktion piirtämisessä voi olla vaikeuksia.

Vaihtoehtoinen menetelmä, joka ei vaadi kuvaajia, on laskennan käyttö. Käytämme seuraavaa menetelmää:

1. Aloita todennäköisyystiheysfunktiolla f (x) jakelua varten.
2. Laske ensimmäinen ja toinen johdannaiset tästä toiminnosta: f '(x) ja f ''(x)
3. Aseta tämä ensimmäinen johdannainen nollaksi f '(x) = 0.
4. Ratkaise X.
5. Kytke edellisen vaiheen arvo (t) toiseen johdannaiseen ja arvioi. Jos tulos on negatiivinen, meillä on paikallinen maksimiarvo arvolla x.
6. Arvioi toiminto f (x) kaikissa kohdissa x edellisestä vaiheesta.
7. Arvioi todennäköisyystiheysfunktio sen tuen kaikissa päätepisteissä. Joten jos funktiolla on alue, jonka antaa suljettu aikaväli [a, b], arvioi sitten funktio päätepisteissä ja b.
8. Suurin arvo vaiheissa 6 ja 7 on funktion absoluuttinen maksimiarvo. X-arvo, jossa tämä enimmäismäärä esiintyy, on jakauman tila.

Nyt käydään läpi yllä olevat vaiheet laskeaksesi chi-neliöjakauman moodin R vapauden asteet. Aloitamme todennäköisyystiheysfunktiolla f(x), joka näkyy tämän artikkelin kuvassa.

f (x) = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Tässä K on vakio, johon sisältyy gamma-toiminto ja teho 2. Meidän ei tarvitse tietää yksityiskohtia (voimme kuitenkin viitata kuvan kuvan kaavaan näille).

Tämän funktion ensimmäinen johdannainen saadaan käyttämällä tuotesääntö sekä ketjusääntö:

f '( x ) = K (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Asetamme tämän johdannaisen nollaksi ja kerrotaan lauseke oikealta:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)x^-1- 1/2]

Koska vakio K, eksponentti funktio ja x^{r / 2-1} ovat kaikki nollia, voimme jakaa yhtälön molemmat puolet näillä lausekkeilla. Meillä on sitten:

0 = (r / 2 - 1)x^-1- 1/2

Kerro yhtälön molemmat puolet 2: lla:

0 = (R - 2)x^-1- 1

Siten 1 = (R - 2)x^-1ja päättelemme tekemällä x = r - 2. Tämä on piste vaaka-akselilla, jossa tila esiintyy. Se osoittaa x chi-neliöjakauman huipun arvo.

Toinen käyrän piirre käsittelee tapaa, jolla se käyränee. Osa käyrästä voi olla kovera ylöspäin, kuten isot kirjaimet U. Käyrät voivat myös olla koverat alaspäin ja muotoiltu Risteys symboli ∩. Jos käyrä muuttuu koverasta alaspäin koveraksi ylöspäin tai päinvastoin, meillä on käännepiste.

Funktion toinen johdannainen havaitsee funktion kuvaajan koveruuden. Jos toinen johdannainen on positiivinen, käyrä on kovera. Jos toinen johdannainen on negatiivinen, käyrä on kovera alaspäin. Kun toinen johdannainen on yhtä suuri kuin nolla ja funktion kuvaaja muuttaa koverautta, meillä on käännepiste.

Graafin käännepisteiden löytämiseksi me:

1. Laske funktion toinen johdannainen f ''(x).
2. Aseta tämä toinen johdannainen nollaksi.
3. Ratkaise edellisen vaiheen yhtälö X.

Nyt näemme, kuinka yllä olevat vaiheet voidaan suorittaa chi-neliöjakaumaa varten. Aloitamme erottelemalla. Yllä olevasta työstä näimme, että ensimmäinen johdannainen toiminnallemme on:

f '(x) = K (r / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) x^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Erotamme uudelleen käyttämällä tuotesääntöä kahdesti. Meillä on:

f ''( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) x^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (R / 2 - 1) x^{r / 2-2}e^{-x / 2}

Asetamme tämän nollaksi ja jaamme molemmat puolet ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}- (1/ 2)(R/2 - 1) x^{r / 2-2}

Yhdistämällä samanlaisia ​​termejä meillä on:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)x^{r / 2-3}- (r / 2 - 1)x^{r / 2-2}+ (1/ 4) x^{r / 2-1}

Kerro molemmat puolet 4: lläx^{3 - r / 2}, tämä antaa meille:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x^2.

Neliökaavaa voidaan nyt käyttää ratkaisemiseen X.

x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Laajennamme termejä, jotka otetaan 1/2-voimaan, ja näemme seuraavan:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Se tarkoittaa, että:

x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

Tästä näemme, että käännepisteitä on kaksi. Lisäksi nämä kohdat ovat symmetrisiä jakauman moodin suhteen, koska (r - 2) on puolivälissä kahden käännepisteen välillä.

Näemme kuinka nämä molemmat piirteet liittyvät vapausasteiden lukumäärään. Voimme käyttää näitä tietoja avuksi chi-neliöjakauman luonnostelussa. Voimme myös verrata tätä jakaumaa muihin, kuten normaalijakaumaa. Voimme nähdä, että ki-neliöjakauman käännepisteet tapahtuvat eri paikoissa kuin käännepisteet normaalijakaumaa varten.