Mikä on virtasarja?

Yksi kysymys asetettu teoria onko joukko toisen joukon alajoukko. Osajoukko on joukko, joka on muodostettu käyttämällä joitain sarjan elementeistä . Jotta B olla osajoukko , jokainen elementti B on myös oltava osa .

Jokaisella sarjalla on useita alajoukkoja. Joskus on toivottavaa tietää kaikki mahdolliset osajoukot. Voimanlähteeksi kutsuttu rakenne auttaa tässä pyrkimyksessä. Laitteen tehosarja on joukko elementtejä, jotka ovat myös joukkoja. Tämä tehojoukko muodostuu sisällyttämällä kaikki tietyn joukon alajoukot .

Tarkastellaan kahta esimerkkiä tehojoukkoista. Ensimmäisen, jos aloitamme sarjasta = {1, 2, 3}, mikä on teho asetettu? Jatkamme luetteloimalla kaikki .

• tyhjä sarja on alajoukko . Itse asiassa tyhjä sarja on osa jokaisesta sarjasta. Tämä on ainoa osajoukko, jossa ei ole elementtejä .
• Joukot {1}, {2}, {3} ovat ainoat alajoukot yhdellä elementillä.
• Joukot {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} ovat ainoat alajoukot kahdella elementillä.
• Jokainen sarja on osa itseään. Täten = {1, 2, 3} on alajoukko . Tämä on ainoa osajoukko, jossa on kolme elementtiä.

Toisessa esimerkissä tarkastellaan tehojoukkoa B ={1, 2, 3, 4}. Suuri osa siitä, mitä sanoimme yllä, on samanlainen, ellei samanlainen nyt:

• Tyhjä sarja ja B ovat molemmat osajoukkoja.
• Koska B, on neljä osajoukkoa, joissa on yksi elementti: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Koska jokainen kolmen elementin osajoukko voidaan muodostaa poistamalla yksi elementti B ja niitä on neljä, elementtejä on neljä: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Jäljelle on määritettävä osajoukot, joissa on kaksi elementtiä. Muodostamme alajoukon kahdesta elementistä, jotka valitaan joukosta 4. Tämä on yhdistelmä ja on C (4, 2) = 6 näistä yhdistelmistä. Osajoukot ovat: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

Sarjan tehojoukolla on kaksi tapaa on merkitty. Yksi tapa osoittaa tämä on käyttää symbolia P( ), jossa joskus tämä kirje P on kirjoitettu tyylillä. Toinen merkintä tehosarjasta on 2. Tätä merkintää käytetään kytkemään virtajoukko virtajoukon elementtien lukumäärään.

Tutkimme tätä merkintää tarkemmin. Jos on äärellinen joukko n elementtejä, sitten sen tehosarja P (A ) tulee 2ⁿ elementtejä. Jos työskentelemme äärettömän joukon kanssa, ei ole hyödyllistä ajatella 2: taⁿ elementtejä. Cantorin lause kertoo kuitenkin, että sarjan ja sen voimajoukon kardinaliteetti ei voi olla sama.

Matematiikassa oli avoin kysymys, vastaako laskettavan äärettömän joukon tehojoukon kardinaalisuus reaalien kardinaalisuutta. Tämän kysymyksen ratkaisu on melko teknistä, mutta sanotaan, että voimme päättää, tunnistaako nämä kardinaliteetit vai ei. Molemmat johtavat johdonmukaiseen matemaattiseen teoriaan.

Todennäköisyyden aihe perustuu asetettuun teoriaan. Sen sijaan, että viittaamme yleisjoukkoihin ja alajoukkoihin, puhumme sen sijaan näytetilat ja Tapahtumat. Joskus työskennellessämme näytetilan kanssa, haluamme määrittää kyseisen näytetilan tapahtumat. Meillä olevan näytetilan tehojoukko antaa meille kaikki mahdolliset tapahtumat.