Integrointi osittain on yksi monista integraatiotekniikoista, joita käytetään laskenta. Tätä integrointitapaa voidaan ajatella keinona purkaa tuotesääntö. Yksi vaikeuksista tämän menetelmän käytössä on sen määrittäminen, mitä funktiota integrandissamme tulisi sovittaa mihin osaan. LIPET-lyhennettä voidaan käyttää antamaan joitain ohjeita integraalin osien jakamiseen.
Integrointi osittain
Palauta mieliin menetelmä integroimiseksi osittain. Tämän menetelmän kaava on:
∫ U dv = uv - ∫ v dU.
Tämä kaava osoittaa, minkä osan integrandista asetetaan yhtä suureksi U, ja mikä osa asetetaan yhtä suureksi kuin dv. LIPET on työkalu, joka voi auttaa meitä tässä pyrkimyksessä.
LIPET-lyhenne
Sana “LIPET” on akronyymi, joka tarkoittaa, että jokainen kirjain tarkoittaa sanaa. Tässä tapauksessa kirjaimet edustavat erityyppisiä toimintoja. Nämä tunnistetiedot ovat:
- L = logaritminen funktio
- I = käänteinen trigonometrinen funktio
- P = Polynomifunktio
- E = eksponentiaalinen toiminto
- T = trigonometrinen funktio
Tämä antaa systemaattisen luettelon siitä, mitä yritetään tasata
U integraatiossa osien kaavassa. Jos logaritminen funktio on olemassa, kokeile asettaa tämä yhtä suureksi U, muun integrandin ollessa yhtä suuri kuin dv. Jos logaritmisia tai käänteisiä trig-funktioita ei ole, kokeile asettaa polynomi yhtä suureksi U. Alla olevat esimerkit auttavat selventämään tämän lyhenteen käyttöä.Esimerkki 1
Harkitse ∫ x lnx dx. Koska logaritminen funktio on olemassa, aseta tämä funktio yhtä suureksi U = ln x. Loppuosa integrandista on dv = x dx. Tästä seuraa, että dU = dx / x ja tuo v = x2/ 2.
Tämä johtopäätös voidaan löytää kokeilemalla ja erehdyksellä. Toinen vaihtoehto olisi ollut asettaa U = x. Näin ollen dU olisi erittäin helppo laskea. Ongelma syntyy, kun tarkastellaan dv = lnx. Integroi tämä toiminto määrittääksesi v. Valitettavasti tämä on erittäin vaikea integraali laskea.
Esimerkki 2
Tarkastellaan integraalia ∫ x cos x dx. Aloita kahdella ensimmäisellä kirjaimella LIPETissä. Ei ole logaritmisia funktioita tai käänteisiä trigonometrisiä funktioita. Seuraava LIPET-kirjain, P, tarkoittaa polynomeja. Koska toiminto x on polynomi, joukko U = x ja dv = cos x.
Tämä on oikea valinta integroida osittain kuten dU = dx ja v = synti x. Integraalista tulee:
x synti x - synti x dx.
Saa integraali integroimalla synti suoraviivaisesti x.
Kun LIPET epäonnistuu
Joissakin tapauksissa LIPET epäonnistuu, mikä vaatii asetusten tekemistä U yhtä suuri kuin jokin muu kuin LIPETin määräämä toiminto. Tästä syystä tätä lyhennettä tulisi ajatella vain tapaa järjestää ajatuksia. Lyhenne LIPET tarjoaa meille myös hahmotelman strategiasta, kun käytetään integraatiota osittain. Se ei ole matemaattinen lause tai periaate, joka on aina tapa toimia osien integroinnin kautta.