Käsite odotettu arvo voidaan analysoida ruletin kasinopeliä. Voimme käyttää tätä ajatusta todennäköisyyden perusteella määrittääksemme, kuinka paljon rahaa menetämme pitkällä aikavälillä pelaamalla rulettia.
Tausta
Yhdysvaltain rulettipyörä sisältää 38 yhtä kokoista tilaa. Pyörä on kehrätty ja pallo laskeutuu sattumanvaraisesti yhteen näistä tiloista. Kaksi välilyöntiä ovat vihreitä ja niissä on numeroita 0 ja 00. Muut välilyönnit on numeroitu yhdestä 36: een. Puolet näistä jäljellä olevista tiloista on punaisia ja puolet mustista. Erilaisia panoksia voidaan tehdä siitä, mihin pallo loppuu. Yleinen veto on valita väri, kuten punainen, ja lyödä vetoa, että pallo laskeutuu mihin tahansa 18 punaisesta välilyönnistä.
Todennäköisyydet ruletti
Koska välilyönnit ovat samankokoisia, pallo laskeutuu yhtä todennäköisesti mihin tahansa tilaan. Tämä tarkoittaa, että rulettipyörään kuuluu univormu todennäköisyysjakauma. Todennäköisyydet, jotka joudumme laskemaan odotettu arvo, ovat seuraavat:
- Tilaja on yhteensä 38, joten todennäköisyys, että pallo laskeutuu tietylle alueelle, on 1/38.
- Punaisia välilyöntejä on 18, joten punaisen esiintymisen todennäköisyys on 18/38.
- On 20 välilyöntiä, jotka ovat mustia tai vihreitä, joten todennäköisyys, että punaista ei esiinny, on 20/38.
Satunnaismuuttuja
Rulettivedon nettovoittoja voidaan pitää erillisenä satunnaismuuttujana. Jos panostamme 1 dollarilla punaisesta ja punainen tapahtuu, voitamme dollarimme takaisin ja toisen dollarin. Tämä johtaa nettovoittoon 1. Jos vetoaan 1 dollaria punaisesta ja vihreästä tai mustasta tapahtuu, menetämme panostamasi dollarin. Tämä johtaa nettovoittoihin -1.
Satunnaismuuttuja X, joka määritellään nettovoittoksi vedonlyönnistä punaisella ruletissa, saa arvon 1 todennäköisyydellä 18/38 ja arvon -1 todennäköisyydellä 20/38.
Odotetun arvon laskeminen
Käytämme yllä olevia tietoja kaava odotetulle arvolle. Koska meillä on diskreetti satunnaismuuttuja X nettovoitoille, vedonlyönnin 1 dollarin odotettu arvo punaisella ruletissa on:
P (punainen) x (X: n arvo punaisella) + P (ei punainen) x (X: n arvo ei punaisella) = 18/38 x 1 + 20/38 x (-1) = -0,053.
Tulosten tulkinta
Tämän avulla muistetaan odotetun arvon tarkoitus tulkita tämän laskelman tuloksia. Odotettu arvo on hyvin mitta keskustasta tai keskimääräisestä. Se osoittaa, mitä tapahtuu pitkällä tähtäimellä joka kerta, kun panostamme 1 dollaria punaisella.
Vaikka voimme voittaa useita kertoja peräkkäin lyhyellä aikavälillä, pitkällä tähtäimellä menetämme keskimäärin yli 5 senttiä joka kerta kun pelaamme. 0- ja 00-tilojen läsnäolo riittää antamaan talolle pienen edun. Tämä etu on niin pieni, että se voi olla vaikea havaita, mutta lopulta talo voittaa aina.