Kuinka laskea Powerball-kertoimet

Powerball on monivaiheinen arpajaiset joka on melko suosittu monen miljoonan dollarin jättipottinsa vuoksi. Jotkut näistä jättipotista saavuttavat arvot, jotka ovat selvästi yli 100 miljoonaa dollaria. Mielenkiintoinen etsintäioni todennäköisyyspohjainen mielessä on, "Kuinka ovat todennäköisyys lasketaan todennäköisyydestä voittoisa Powerball?”

Ensin tutkitaan Powerballin sääntöjä sellaisena kuin ne on tällä hetkellä määritetty. Jokaisen piirtämisen aikana sekoitetaan ja satunnaistetaan kaksi rumpua, jotka ovat täynnä palloja. Ensimmäinen rumpu sisältää valkoisia palloja, numeroitu 1- 59. Viisi piirretään ilman korvaamista tästä rummusta. Toisessa rummussa on punaisia ​​palloja, jotka on numeroitu 1 - 35. Yksi näistä on piirretty. Tarkoituksena on löytää mahdollisimman moni näistä numeroista.

Koko jättipotti voitetaan, kun kaikki pelaajan valitsemat kuusi numeroa vastaavat täydellisesti vedettyjä palloja. On palkintoja, joilla on pienemmät arvot osittaiselle sovitukselle, yhteensä yhdeksälle erilaiselle tavalle voittaa dollarisumma Powerballista. Nämä voittamistavat ovat:

• Kaikkien viiden valkoisen pallon ja punaisen pallon täyttäminen voittaa pääpalkinnon jättipotin. Tämän arvo vaihtelee sen mukaan, kuinka kauan on kulunut siitä, kun joku on voittanut tämän pääpalkinnon.
• Kaikkien viiden valkoisen pallon, mutta punaisen pallojen vastainen voittaa 1 000 000 dollaria.
• Vastaavasti neljä viidestä valkoisesta pallosta ja punainen pallo voittaa 10 000 dollaria.
• Vastaavasti neljä viidestä valkoisesta pallosta, mutta ei punaista palloa, voittaa 100 dollaria.
• Ottelu tarkalleen kolme viidestä valkoisesta pallosta ja punainen pallo voittaa 100 dollaria.
• Vastaavasti kolme viidestä valkoisesta pallosta, mutta ei punaista palloa, voittaa 7 dollaria.
• Vastaavasti kaksi viidestä valkoisesta pallosta ja punainen pallo voittaa 7 dollaria.
• Vastaavasti yhtä viidestä valkoisesta pallosta ja punaista palloa voittaa 4 dollaria.
• Vastaa vain punaista palloa, mutta yksikään valkoisista palloista ei voita 4 dollaria.

Tarkastelemme kuinka laskea kaikki nämä todennäköisyydet. Kaikissa näissä laskelmissa on tärkeää huomata, että järjestys, kuinka pallot tulevat rummusta, ei ole tärkeätä. Ainoa asia, joka on tärkeä, on sarja palloja, jotka vedetään. Tästä syystä laskelmiin liittyy yhdistelmät eikä permutaatiot.

Kaikissa alla olevissa laskelmissa on hyödyllinen myös piirrettävien yhdistelmien kokonaismäärä. Meillä on viisi valittua 59 valkoisen pallon joukosta tai käyttämällä yhdistelmien merkintää, C (59, 5) = 5 006 386 tapaa tämän tapahtumiseksi. Punaista palloa voidaan valita 35 tapaa, jolloin saadaan 35 x 5 006 386 = 175 223 510 mahdollista valintaa.

Vaikka kaikkien kuuden palloa vastaavan jättipotin hankkiminen on vaikeinta, se on helpoin todennäköisyys laskea. 175 223 510 mahdollisesta valinnoista on tarkalleen yksi tapa voittaa jättipotti. Siten todennäköisyys, että tietty lippu voittaa jättipotin, on 1/175 223 510.

Voittaaksesi 1 000 000 dollaria meidän on vastattava viittä valkoista palloa, mutta ei punaista. On vain yksi tapa sovittaa kaikki viisi. Punaista palloa ei voi verrata 34 tapaan. Joten todennäköisyys voittaa 1 000 000 dollaria on 34/175 223 510 tai suunnilleen 1/5 153 633.

Jos palkinto on 10 000 dollaria, meidän on löydettävä neljä viidestä valkoisesta pallosta ja punainen. On olemassa C (5,4) = 5 tapaa sopia neljään viidestä. Viidennen pallon on oltava yksi jäljellä olevista 54: stä, joita ei ole vedetty, ja niin on olemassa C (54, 1) = 54 tapaa tämän tapahtua. On vain yksi tapa sovittaa punainen pallo. Tämä tarkoittaa, että on 5 x 54 x 1 = 270 tapaa sovittaa tarkalleen neljä valkoista ja punaista palloa, jolloin todennäköisyys on 270/175, 223 510 tai suunnilleen 1 / 648,976.

Yksi tapa voittaa 100 dollarin palkinto on pelata neljä viidestä valkoisesta pallosta eikä vastaa punaista. Kuten edellisessä tapauksessa, on olemassa C (5,4) = 5 tapaa verrata neljää viidestä. Viidennen pallon on oltava yksi jäljellä olevista 54: stä, joita ei ole vedetty, ja niin on olemassa C (54, 1) = 54 tapaa tämän tapahtua. Tällä kertaa on 34 tapaa välttää punaisen pallon vastaaminen. Tämä tarkoittaa, että on olemassa 5 x 54 x 34 = 9180 tapaa sovittaa tarkalleen neljä valkoista palloa, mutta ei punaista, mikä antaa todennäköisyyden 9180 / 175,223,510 tai suunnilleen 1 / 19,088.

Toinen tapa voittaa 100 dollarin palkinto on pelata tarkalleen kolme viidestä valkoisesta pallosta ja myös punainen. On olemassa C (5,3) = 10 tapaa yhdistää kolme viidestä. Jäljellä olevien valkoisten pallojen on oltava yksi niistä jäljellä olevista 54: stä, joita ei ole piirretty, ja niin on olemassa C (54, 2) = 1431 tapaa tämän tapahtua. Punainen pallo voidaan sovittaa yhteen. Tämä tarkoittaa, että on olemassa 10 x 1431 x 1 = 14 310 tapaa sovittaa tarkalleen kolme valkoista ja punaista palloa, jolloin todennäköisyys on 14 310/175 223 510 tai suunnilleen 1/12 245.

Yksi tapa voittaa 7 dollarin palkinto on pelata tarkalleen kolme viidestä valkoisesta pallosta eikä vastaa punaista. On olemassa C (5,3) = 10 tapaa yhdistää kolme viidestä. Jäljellä olevien valkoisten pallojen on oltava yksi niistä jäljellä olevista 54: stä, joita ei ole piirretty, ja niin on olemassa C (54, 2) = 1431 tapaa tämän tapahtua. Tällä kertaa on 34 tapaa välttää punaisen pallon vastaaminen. Tämä tarkoittaa, että on olemassa 10 x 1431 x 34 = 486 540 tapaa sovittaa tarkalleen kolme valkoista palloa, mutta ei punaista, mikä antaa todennäköisyyden 486 540/175 223 510 tai suunnilleen 1/360.

Toinen tapa voittaa 7 dollarin palkinto on täsmälleen kaksi viidestä valkoisesta pallosta ja myös punainen. On olemassa C (5,2) = 10 tapaa yhdistää kaksi viidestä. Jäljellä olevien valkoisten pallojen on oltava yksi niistä jäljellä olevista 54: stä, joita ei ole piirretty, ja niin on olemassa C (54, 3) = 24 804 tapaa tämän tapahtua. Punainen pallo voidaan sovittaa yhteen. Tämä tarkoittaa, että on 10 x 24 804 x 1 = 248 040 tapaa sovittaa tarkalleen kaksi valkoista ja punaista palloa, jolloin todennäköisyys on 248 040/175 223 510 tai suunnilleen 1/706.

Yksi tapa voittaa 4 dollarin palkinto on pelata tarkalleen yksi viidestä valkoisesta pallosta ja myös punainen. Yksi viidestä on C (5,4) = 5 tapaa. Jäljellä olevien valkoisten pallojen on oltava yksi niistä jäljellä olevista 54: stä, joita ei ole piirretty, ja niin on olemassa C (54, 4) = 316 251 tapaa tämän tapahtua. Punainen pallo voidaan sovittaa yhteen. Tämä tarkoittaa, että on 5 x 316 251 x1 = 1 581 255 tapaa sovittaa tarkalleen yksi valkoinen pallo ja punainen, mikä antaa todennäköisyyden 1 581 255/175 223 510 tai suunnilleen 1/111.

Toinen tapa voittaa 4 dollarin palkinto on, että vertaamalla yhtäkään viidestä valkoisesta pallosta voimme vastata punaiseen. On 54 palloa, joita ei ole viidestä valitusta, ja meillä on C (54, 5) = 3 162 510 tapaa tämän tapahtua. Punainen pallo voidaan sovittaa yhteen. Tämä tarkoittaa, että on 3 162 510 tapaa sovittaa mikään pallo punaista lukuun ottamatta, mikä antaa todennäköisyyden 3 162 510/175 223 510 tai suunnilleen 1/55.

Tämä tapaus on hiukan vastaintuitiivinen. Punaisia ​​palloja on 36, joten voidaan ajatella, että todennäköisyys sopia yhteen niistä on 1/36. Tämä laiminlyö kuitenkin muut valkoisten pallojen asettamat ehdot. Monet yhdistelmät, joissa on oikea punainen pallo, sisältävät myös otteluita joissain valkoisissa palloissa.