Regressioviivan kaltevuus ja korrelaatiokerroin

Monta kertaa tutkiessa tilasto on tärkeää luoda yhteyksiä eri aiheiden välillä. Näemme tästä esimerkin, jossa regressioviivan kaltevuus liittyy suoraan korrelaatiokerroin. Koska molemmat käsitteet käsittävät suorat linjat, on luonnollista esittää kysymys "Kuinka korrelaatiokerroin ja pienin neliö liittyvä?"

Ensinnäkin tarkastellaan taustaa molempien aiheiden suhteen.

On tärkeää muistaa korrelaatiokertoimen yksityiskohdat, joita merkitään R. Tätä tilastoa käytetään, kun olemme muodostaneet parin kvantitatiivinen tieto. Alkaen hajautetun alueen paritiedot, voimme etsiä suuntauksia tietojen yleisessä jakautumisessa. Joillakin parillisilla tiedoilla on lineaarinen tai suoraviivainen kuvio. Mutta käytännössä tiedot eivät koskaan pudota tarkalleen suorassa linjassa.

Useat ihmiset katsovat samaa scatterplot parillisista tiedoista olisi eri mieltä siitä, kuinka lähellä se osoitti yleistä lineaarista trendiä. Loppujen lopuksi kriteerimme tähän voivat olla jonkin verran subjektiivisia. Käytetty mittakaava voi myös vaikuttaa käsitykseemme tiedoista. Näistä syistä ja muusta syystä tarvitsemme jonkinlaista objektiivista mittaa kertoa, kuinka lähellä paritietomme on lineaarista. Korrelaatiokerroin saavuttaa tämän meille.

Muutamia perustietoja R sisältää:

• Arvo R vaihtelee minkä tahansa reaaliluvun välillä -1 - 1.
• Arvot R lähellä nollaa tarkoittaa, että datan välillä on vähän tai ei lainkaan suhdetta.
• Arvot R lähellä yhtä merkitsee, että datan välillä on positiivinen lineaarinen suhde. Tämä tarkoittaa sitä, että x lisää sitä y lisää myös.
• Arvot R lähellä -1 tarkoittaa, että datan välillä on negatiivinen lineaarinen suhde. Tämä tarkoittaa sitä, että x lisää sitä y vähenee.

Kaksi viimeistä kohtaa yllä olevassa luettelossa osoittavat meille kohti parhaiten sopivan pienimmän neliösumman viivaa. Muista, että linjan kaltevuus on mitta siitä, kuinka monta yksikköä se menee ylös tai alas jokaiselle oikealle siirrettävälle yksikölle. Joskus tämä ilmaistaan ​​linjan nousuna jaettuna juoksulla tai muutoksena y arvot jaettuna muutoksella x arvot.

Yleensä suoria viivoja on positiivinen, negatiivinen tai nolla. Jos tutkisimme pienimmän neliösumman regressioviivojamme ja vertaamme vastaavia arvoja R, huomaamme, että joka kerta, kun tietoissamme on negatiivinen korrelaatiokerroin, regressioviivan kaltevuus on negatiivinen. Samoin jokaisella kerralla, jolla on positiivinen korrelaatiokerroin, regressioviivan kaltevuus on positiivinen.

Tämän havainnon pitäisi olla selvää, että korrelaatiokertoimen merkin ja pienimmän neliösumman viivan kaltevuuden välillä on ehdottomasti yhteys. On vielä selitettävä, miksi tämä on totta.

Syyn arvoon R ja pienimmän neliösumman viivan kaltevuus liittyy kaavaan, joka antaa meille tämän viivan kaltevuuden. Pariksi liitetyt tiedot (x, y) merkitsemme keskihajonta n x tiedot s_x ja - standardin poikkeama y tiedot s_y.

Kaava kaltevuudesta regressioviivan arvo on:

• a = r (s_y/ s_x)

Vakiopoikkeaman laskemiseen sisältyy ei-negatiivisen luvun positiivisen neliöjuuren ottaminen. Seurauksena on, että molempien vakiopoikkeamien kaltevuuden kaavassa on oltava negatiivisia. Jos oletamme, että tiedoissamme on jonkin verran vaihtelua, voimme jättää huomiotta mahdollisuuden, että jompikumpi näistä keskihajonnoista on nolla. Siksi korrelaatiokertoimen merkki on sama kuin regressioviivan kaltevuuden merkki.