Koko matematiikan ja tilastojen aikana meidän on tiedettävä kuinka laskea. Tämä pätee erityisesti joihinkin todennäköisyys ongelmia. Oletetaan, että meille annetaan yhteensä n erillisiä esineitä ja haluat valita R niistä. Tämä koskettaa suoraan matematiikan aluetta, jota kutsutaan yhdistelmäksi, joka on laskennan tutkimus. Kaksi päätapaa laskea nämä R esineitä n elementtejä kutsutaan permutaatioiksi ja yhdistelmiksi. Nämä käsitteet liittyvät läheisesti toisiinsa ja ovat helposti sekoitettavissa.
Mikä on ero yhdistelmän ja permutaation välillä? Keskeinen ajatus on järjestyksen idea. Permutaatio kiinnittää huomiota järjestykseen, jonka mukaan objektimme valitaan. Sama esinejoukko, mutta eri järjestyksessä otettu antaa meille erilaisia permutaatioita. Yhdistelmällä valitsemme edelleen R esineitä yhteensä n, mutta tilausta ei enää oteta huomioon.
Esimerkki permutaatioista
Näiden ideoiden erottamiseksi tarkastellaan seuraavaa esimerkkiä: kuinka monta permutaatiota on joukosta kahta kirjainta {a, b, c}?
Tässä luettelemme kaikki elementtiparit annetusta sarjasta kiinnittäen samalla huomiota tilaukseen. Permutaatioita on yhteensä kuusi. Luettelo kaikista näistä on: ab, ba, bc, cb, ac ja ca. Huomaa, että permutaatioina ab ja ba ovat erilaisia, koska yhdessä tapauksessa valittiin ensin ja toisessa valittiin toiseksi.
Esimerkki yhdistelmistä
Nyt vastaamme seuraavaan kysymykseen: kuinka monta yhdistelmää on kahden kirjaimen joukosta {a, b, c}?
Koska kyse on yhdistelmistä, emme enää välitä tilauksesta. Voimme ratkaista tämän ongelman tarkastelemalla permutaatioita ja poistamalla sitten ne, jotka sisältävät samat kirjaimet. Yhdistelminä ab ja ba pidetään samoina. Siksi on vain kolme yhdistelmää: ab, ac ja bc.
kaavat
Tilanteissa, joissa kohtaamme suurempia sarjoja, on liian aikaa vievää luetella kaikki mahdolliset permutaatiot tai yhdistelmät ja laskea lopputulos. Onneksi on olemassa kaavoja, jotka antavat meille useita permutaatioita tai niiden yhdistelmiä n otetut esineet R kerrallaan.
Käytämme näissä kaavoissa lyhennettyä merkintää n! olla nimeltään nkertoma. Faktoriaalissa sanotaan yksinkertaisesti kertomalla kaikki positiiviset kokonaisluvut pienemmiksi tai yhtä suuret n yhdessä. Joten esimerkiksi 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Määritelmänä 0! = 1.
Permutaatioiden lukumäärä n otetut esineet R kerrallaan annetaan kaavalla:
P(n,R) = n!/(n - R)!
Yhdistelmien lukumäärä n otetut esineet R kerrallaan annetaan kaavalla:
C(n,R) = n!/[R!(n - R)!]
Kaavat työssä
Katsotaanpa alkuperäistä esimerkkiä nähdäksesi kaavat työssä. Kolmesta objektista koostuvan joukon permutaatioiden lukumäärä, jotka otetaan kaksi kerrallaan, annetaan luvulla P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Tämä vastaa tarkalleen mitä olemme saaneet listaamalla kaikki permutaatiot.
Kolmen esineen joukon yhdistelmien lukumäärä, jotka otetaan kaksi kerrallaan, lasketaan seuraavalla:
C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Tämä vastaa jälleen täsmälleen sitä, mitä näimme aiemmin.
Kaavat säästävät ehdottomasti aikaa, kun meitä pyydetään löytämään suuremman joukon permutaatioiden lukumäärä. Esimerkiksi kuinka monta permutaatiota on kymmenestä esineestä, jotka otetaan kolme kerrallaan? Kaikkien permutaatioiden luettelointi vie jonkin aikaa, mutta kaavojen kanssa näemme, että siellä olisi:
P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutaatiota.
Pääidea
Mitä eroa permutaatioiden ja yhdistelmien välillä on? Tärkeintä on, että laskettaessa tilauksia käsittäviä tilanteita tulisi käyttää permutaatioita. Jos tilaus ei ole tärkeä, tulee käyttää yhdistelmiä.