Saatuaan nähdä kaavat, jotka on painettu oppikirjaan tai kirjoitettu opettajan taululle, se on joskus yllättävää saada selville, että monet näistä kaavoista voidaan johtaa joihinkin perustavanlaatuisiin määritelmiin ja huolelliseen harkintaan. Tämä pätee erityisen todennäköisyyteen tutkittaessa yhdistelmäkaavaa. Tämän kaavan johdannainen oikeasti vain perustuu kertolaskuperiaatteeseen.
Kertolaskuperiaate
Oletetaan, että tehtävä on tehtävä ja tämä tehtävä on jaoteltu kahteen vaiheeseen. Ensimmäinen vaihe voidaan tehdä K Tavat ja toinen vaihe voidaan tehdä n tavoilla. Tämä tarkoittaa, että jälkeen kertominen nämä numerot yhdessä, kuinka monta tapaa suorittaa tehtävä on nk.
Esimerkiksi, jos sinulla on kymmenen erilaista jäätelöä, joista valita, ja kolme erilaista täytettä, kuinka monta kauhaa, yhtä täyteauraa voit tehdä? Kerro kolme kolmella 10: llä saadaksesi 30 sundaesia.
Permutaatioiden muodostaminen
Käytä nyt kertolaskuperiaatetta kaavan saamiseksi yhdistelmien lukumäärälle R elementit, jotka on otettu joukosta
n elementtejä. Antaa P (n, r) merkitä permutaatiot of R elementit joukosta n ja C (n, r) merkitsevät yhdistelmien lukumäärää R elementit joukosta n elementtejä.Ajattele mitä tapahtuu muodostettaessa permutaatio R elementtejä yhteensä n. Katso tätä kaksivaiheisena prosessina. Valitse ensin joukko R elementit joukosta n. Tämä on yhdistelmä ja on C(n, r) tapoja tehdä tämä. Toinen vaihe prosessissa on tilaaminen R elementit R valinnat ensimmäiselle, R - 1 vaihtoehto toiselle, R - 2 kolmannelle, 2 vaihtoehtoa viimeistä ja yksi viimeiselle. Kertolaskuperiaatteella on olemassa R x (R -1) x... x 2 x 1 = R! tapoja tehdä tämä. Tämä kaava on kirjoitettu tekijämerkintä.
Kaavan johdannainen
Kiteyttää, P(n,R ), kuinka monta tapaa muodostaa permutaatio R elementtejä yhteensä n määritetään:
- Muodostetaan yhdistelmä R elementtejä yhteensä n missä tahansa C(n,R ) tapoja
- Näiden tilaaminen R elementit mikä tahansa R! tavoilla.
Kertolaskuprosessin mukaan permutaation muodostamiseksi on useita tapoja P(n,R ) = C(n,R ) x R!.
Permutaatioiden kaavan käyttäminen P(n,R ) = n!/(n - R)!, joka voidaan korvata yllä olevaan kaavaan:
n!/(n - R)! = C(n,R ) R!.
Nyt ratkaise tämä, yhdistelmien lukumäärä, C(n,R ) ja katso C(n,R ) = n!/[R!(n - R)!].
Kuten osoitettiin, vähän ajattelua ja algebraa voidaan viedä pitkälle. Muita todennäköisyyden ja tilastojen kaavoja voidaan johtaa myös määritelmien huolellisilla sovelluksilla.